5の平方根が±√5になる理由とその数学的背景

平方根の概念に関してよく見かける質問の一つは、「5の平方根が±√5になるのはなぜか？」というものです。数学の初学者にとって、平方根のマイナスの扱い方は少し混乱を招くことがあります。この記事では、その理由と数学的な背景を、できるだけわかりやすく解説します。

平方根の定義と基本的な理解

平方根とは、ある数を二乗（掛け算）したときに元の数になる数のことです。例えば、5の平方根は「x」で、x² = 5 となる数を意味します。つまり、x = √5 のように書きます。

基本的に、平方根は二乗した値が元の数になる数を求めますが、注意しなければならないのは、正の数と負の数の両方がその条件を満たすということです。

±の意味について

では、なぜ平方根の結果が±√5になるのでしょうか？これは、元の数に対して「二乗すると同じ値になる数」が2つあるためです。例えば、2の二乗は4、-2の二乗も4です。つまり、4の平方根は2か-2の両方です。

したがって、5の平方根は√5と-√5、どちらもその条件を満たします。√5を二乗すれば5、-√5を二乗しても同じく5になります。これが±を使う理由です。

なぜマイナスは√の外に出せないのか？

質問にもありましたが、「マイナスは√の外に出せませんよね？」という点についても触れておきましょう。√5のように、数の前にマイナスがついている場合、このマイナスはそのまま外に出すことはできません。なぜなら、平方根の性質上、マイナス符号は平方根の中に含まれているからです。

「√(-5)」のようにマイナスがついている場合、実際には実数ではなく虚数の範囲に入るため、通常の平方根とは異なる計算になります。この場合、複素数の理論に基づいて解答が求められます。

まとめ

5の平方根が±√5になる理由は、平方根の定義に基づき、ある数を二乗すると元の数になる数が正負両方あるからです。例えば、2の二乗が4、-2の二乗も4であるのと同じように、5の平方根も√5と-√5が答えとなります。マイナスは平方根の中に含まれるため、√の外に出すことはできません。この数学的背景を理解することで、平方根の計算がさらにスムーズに行えるようになります。