この問題では、与えられた再帰式を用いて、一般項を求める方法を階差をとることで明確にします。再帰式は、a(n+1) = 2a_n + (2n – 2) であり、初期条件a1 = 2が与えられています。問題は、階差を利用して一般項を求めるというものです。
1. 再帰式の確認
まず最初に、再帰式を確認します。
a(n+1) = 2a_n + (2n - 2)この式は、次の項が現在の項に依存している再帰的な構造をしています。ここで、a1 = 2という初期条件があります。再帰式の解法を進めるためには、まずは階差をとる手順に入ります。
2. 階差を取る
階差を取るというのは、隣接する項の差を求める操作です。再帰式a(n+1) = 2a_n + (2n – 2)を使って、まずは最初の数項を計算してみましょう。
a2 = 2a1 + (2*1 - 2) = 2*2 + (2 - 2) = 4
a3 = 2a2 + (2*2 - 2) = 2*4 + (4 - 2) = 8
a4 = 2a3 + (2*3 - 2) = 2*8 + (6 - 2) = 16このように、再帰式に従って項を求めると、a1 = 2、a2 = 4、a3 = 8、a4 = 16という結果が得られます。
3. 一般項を求める
次に、得られた値から一般項を推測します。ここでは、2の累乗のような形をしていますので、一般項は次のように表現できます。
a_n = 2^nこの式が一般項となります。つまり、任意のnに対して、a_nは2のn乗であると求められます。
4. まとめ
再帰式a(n+1) = 2a_n + (2n – 2)を用いて、階差を取ることで一般項a_n = 2^nを得ることができました。このように、階差を取ることで再帰式の解を導く方法は非常に有効です。今回の問題では、一般項を明確に求めることができ、再帰式の解法における重要な考え方を学ぶことができました。
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