確率論の問題では、条件付き確率や積の法則を理解することが重要です。今回は、当たりくじの確率を求める問題において、箱Aと箱Bが選ばれる確率をどのように計算するかについて解説します。特に、「1/2」をかける理由について詳しく説明します。
問題の概要
この問題では、2つの箱（箱Aと箱B）があり、それぞれ異なる確率で当たりくじが出る設定です。箱Aの確率は1/2、箱Bの確率は1/3です。まず、箱Aか箱Bを無作為に選び、その後に1本くじを引いて戻すという試行を3回繰り返した結果、ちょうど1回当たるという事象が発生した場合について考えます。
区分求積法の考え方と事象の計算
問題では、箱Aまたは箱Bが選ばれる確率を考慮しながら、1回の試行で当たりが出る確率が1回のみとなる場合を求めます。事象Aは箱Aが選ばれること、事象Bは箱Bが選ばれることを表し、AかつWは箱Aが選ばれ、かつ1回当たりの事象が起こる確率を意味します。
ここで、箱Aまたは箱Bを選ぶ確率は1/2です。この選択は無作為に行われるため、箱Aと箱Bが選ばれる確率はそれぞれ1/2となります。この情報を利用して、AかつWの確率を求めます。
なぜ1/2をかけるのか？
問題文で「P(AかつW)＝1/2×Pa」と表現されていますが、これは箱Aが選ばれる確率が1/2であり、次に箱Aで3回中1回当たる確率（Pa）を掛け算するという意味です。簡単に言えば、箱Aが選ばれる可能性は50％（1/2）であり、その後、箱Aを選んだ場合に3回の試行中1回当たる確率Paが掛けられます。
同様に、箱Bが選ばれる確率も1/2であり、その場合に3回中1回当たる確率Pbが掛けられます。
確率の計算方法と注意点
この問題では、区分求積法という概念よりも、確率論の基本的な法則を使って解くことが求められます。事象AとW、事象BとWに関して、それぞれの確率を掛け算して合計することで、全体の確率を求めることができます。
ポイントとしては、最初に箱Aまたは箱Bを選ぶ確率を考慮し、その後に各箱で指定された確率（PaやPb）を掛けるという手順です。これにより、最終的な確率が得られます。
まとめ
この問題では、確率論の基礎的な考え方を理解することが重要です。箱Aや箱Bを無作為に選んだ後、各箱での当たりくじの確率を掛け合わせることで、最終的な確率を求めることができます。1/2を掛ける理由は、箱Aまたは箱Bが選ばれる確率が等しいためであり、基本的な確率計算の手法を使うことで解決できます。
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