この記事では、xy平面における曲線と直線の交点に関する問題を解きます。特に、放物線y=x²と直線y=kx-1/3が異なる2つの共有点を持つ条件や、接線に垂直な直線の交点を求める方法について詳しく解説します。
問題の設定と解き方
問題は、放物線y=x²と直線y=kx-1/3が異なる2つの共有点P、Qを持つとき、いくつかの問いについて解答するものです。具体的には、(1)実数kの範囲を求め、(2)点PとQを通り、それぞれの接線に垂直な直線m、nの交点Rの座標を求め、(3)kが(1)の範囲で変化するとき、点Rがどのような図形の上を動くかを求めます。
(1) 実数kの範囲を求める
まず、直線y=kx-1/3と放物線y=x²の交点を求めます。交点のx座標は、y=x²とy=kx-1/3を等式で結んで求めます。
x² = kx – 1/3 という式を解くために、整理してx² – kx + 1/3 = 0となります。この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式Δが正であることです。Δ = k² – 4×1×1/3 = k² – 4/3 となるので、この値が正であるためのkの範囲はk² > 4/3、すなわちk > 2/√3またはk < -2/√3となります。
(2) 点PとQを通り、接線に垂直な直線の交点R
次に、Pを通り、PにおけるCの接線に垂直な直線mを求めます。放物線y=x²の接線の傾きは、微分を使って求めることができます。y=x²の微分はy’ = 2xとなるので、点Pのx座標における接線の傾きは2xです。
接線に垂直な直線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号反転になります。したがって、点Pの接線に垂直な直線の傾きは-1/(2x)です。同様に点Qについても、接線に垂直な直線の傾きを求め、mとnの交点Rを求めることができます。
(3) 点Rが動く図形
点Rがどのような図形の上を動くかについて、kが(1)で求めた範囲で変化するとき、点Rの軌跡を求めます。具体的な解法は、(2)で求めた点Rの座標をkの関数として表し、その軌跡がどのような曲線になるかを解析することにあります。
このような問題は、微積分や2次方程式、直線の傾き、接線の垂直線を使った解析を通して解くことができ、数学的な理解が深まります。
まとめ
この問題を解くことで、放物線と直線の交点、接線に垂直な直線、そして点の軌跡を求める方法を学びました。kの範囲を求め、接線の傾きを使って垂直な直線を求め、最終的に点Rが動く軌跡を求める過程は、数学の基本的な技術を駆使する良い練習になります。これらの問題を理解することで、より高度な数学問題にも挑戦できるようになるでしょう。
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