数学の式展開において、(a-b)^5 や (x+2)^6 といった多項式の展開は非常に重要です。これらの式を展開する際には、二項定理を使うことで簡単に解くことができます。この記事では、これらの式を展開する方法を、具体例と共にわかりやすく解説します。
二項定理の基本とその応用
二項定理は、(a+b)^n の形の式を展開するための公式です。この定理を使用することで、展開結果を迅速に得ることができます。具体的な公式は以下の通りです。
(a+b)^n = Σ (nCk) a^(n-k) b^k
ここで、nCk は組み合わせの数を示します。この公式を理解すると、(a-b)^5 や (x+2)^6 のような式も効率よく展開できるようになります。
(a-b)^5 の展開方法
(a-b)^5 を展開するためには、まず二項定理を適用します。式は次のようになります。
(a-b)^5 = Σ (5Ck) a^(5-k) (-b)^k
これを計算すると、次のような展開式が得られます。
(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5
この式では、各項の係数が二項係数（5Ck）によって決まっていることがわかります。
(x+2)^6 の展開方法
次に、(x+2)^6 を展開してみましょう。同様に二項定理を使用すると、次のようになります。
(x+2)^6 = Σ (6Ck) x^(6-k) 2^k
この式を計算すると、展開結果は次のようになります。
(x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64
この展開でも、各項における係数が二項係数と2の累乗によって決定されます。
実際の計算ステップと注意点
二項定理を使用する際には、各項の計算を正確に行うことが重要です。特に、負の符号（-b）の場合や、定数項が含まれる場合には注意が必要です。
例えば、(a-b)^5 の場合、(-b)^k の符号が交互に変わるため、各項に符号の正確な適用が求められます。
まとめ
今回の記事では、(a-b)^5 と (x+2)^6 の展開方法について解説しました。二項定理を活用することで、これらの式を迅速かつ効率的に展開できることがわかりました。数学の問題を解く際には、定理をうまく使って計算を簡単にし、正確に解答を導き出すことが重要です。
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