高校数学：四角形OAQPの面積の最大値をpを用いて求める方法

高校数学の問題で、関数c: y = -x^2 + 4xのグラフ上に点Pと点Qがあり、四角形OAQPの面積の最大値を求める問題があります。点Pを固定し、点Qがp < q < 4の範囲で動くとき、この四角形の面積をpを用いて表現する方法について解説します。

問題の整理

まず、問題を整理します。関数c: y = -x^2 + 4xのグラフ上に、点A(4, 0)、点P(p, -p^2 + 4p)、点Q(q, -q^2 + 4q)があります。pとqの関係は0 < p < q < 4です。このとき、四角形OAQPの面積の最大値を求める問題です。

四角形OAQPの面積を求めるためには、まずその面積の公式を考える必要があります。OAQPは2つの三角形と1つの矩形で構成されるので、面積を求めるために、三角形の面積と矩形の面積をそれぞれ求める方法を使用します。

まず、三角形OAPと三角形OQPの面積を求め、それらを合計することで四角形の面積が得られます。

三角形OAPの面積は、底辺OAの長さと高さAPの長さを使って求めます。点Oは原点なので、OAの長さは4となります。

高さAPは、点Pのy座標、すなわち- p^2 + 4pです。したがって、三角形OAPの面積は、次の式で求められます。

面積OAP = (1/2) × 底辺 × 高さ = (1/2) × 4 × (-p^2 + 4p)

これを簡単にすると、面積OAP = 2(-p^2 + 4p) となります。

次に、三角形OQPの面積を求めます。点Oは原点で、底辺OQの長さはqとなり、点Qのy座標は – q^2 + 4q です。

三角形OQPの面積は、次の式で求められます。

面積OQP = (1/2) × 底辺 × 高さ = (1/2) × q × (-q^2 + 4q)

これを簡単にすると、面積OQP = (q/2)(-q^2 + 4q) となります。

最終的に、四角形OAQPの面積は、三角形OAPと三角形OQPの面積の合計です。したがって、四角形OAQPの面積Aは、次のように求められます。

A = 面積OAP + 面積OQP

A = 2(-p^2 + 4p) + (q/2)(-q^2 + 4q)

ここで、最大面積を求めるために、pとqの関係を使いながら、最適な値を導き出すことが必要です。

最大面積を求めるためには、微分法やグラフの解析を使って、pとqの間の関係を明確にし、面積が最大になる点を見つける必要があります。具体的な微分の手法を使うことで、最適なpとqの値を求めることができます。

四角形OAQPの面積を求めるためには、三角形OAPと三角形OQPの面積を計算し、それらを合計することが基本です。また、最大面積を求めるためには、微分や関数の最大化を用いて最適な値を求める必要があります。問題を解く際は、計算過程をしっかりと追い、正確に進めることが大切です。