累乗に関する数学の問題で、「ある正の数の累乗は、必ずプラスになるのか？」という疑問が生じることがあります。この記事では、特に4の-2/3乗のような例を使って、正の数の累乗が必ずプラスになるのかについて詳しく解説します。
累乗の基本について
累乗とは、ある数を何回か掛け算する操作です。例えば、a^n は、aをn回掛け算することを意味します。しかし、累乗には指数が正の整数だけでなく、負の数や分数の指数も含まれるため、少し難しい場合があります。
まず、整数の指数の場合は、例えば4^2は4を2回掛けることで16になります。次に、負の指数は逆数を取ることを意味し、例えば4^(-2)は1/4^2 = 1/16となります。これにより、指数が負であっても、元々の数が正ならば、累乗の結果は常にプラスの数になります。
負の指数と分数の指数について
今回の例である4の-2/3乗（4^(-2/3)）について考えてみましょう。負の指数は先ほど説明したように、逆数を取ることを意味します。ここでは、4^(2/3)をまず計算し、その逆数を取ります。
4^(2/3)は、4の立方根を求めて、それを2乗することに相当します。具体的には、4^(1/3)は約1.5874で、これを2乗すると約2.52になります。したがって、4^(-2/3)はその逆数である1/2.52となり、おおよそ0.396となります。これも正の数であり、最終的な結果は必ずプラスになります。
正の数の累乗の結果がプラスになる理由
正の数の累乗結果が必ずプラスになる理由は、累乗の性質によるものです。正の数を何回掛け算しても、その結果は常に正になります。負の指数や分数の指数が付いていても、逆数を取ったり根を取る操作であっても、元の数が正であれば結果は正の数となります。
これに対して、元の数が負の場合、累乗の結果は指数によって異なります。例えば、負の数の偶数乗は正の数になりますが、奇数乗は負の数になります。このように、正の数と負の数では累乗の結果に大きな違いがあります。
まとめ
4の-2/3乗のような場合でも、元の数が正であれば、累乗の結果は必ずプラスになります。負の指数や分数の指数を使っても、逆数を取る操作や根を取る操作が行われるだけで、結果は正の数となるため、常にプラスの結果が得られます。
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