多項式の因数分解は、数学の中でも非常に重要な手法です。今回の問題では、x⁴ – 11x + 1という式の因数分解を行います。この問題を解くためには、因数分解のテクニックを理解し、適切な方法を選ぶ必要があります。
1. x⁴ – 11x + 1 の因数分解の基本方針
まず、この式 x⁴ – 11x + 1 は、四次方程式ですが、一般的な二項式の因数分解の方法を直接適用することはできません。このため、まずはこの式がどのように因数分解できるかを考える必要があります。
一つのアプローチとして、四次式を二次式に変形し、因数分解する方法があります。これには、式を見て何か共通のパターンを見つけることが重要です。
2. 因数分解の手順
式x⁴ – 11x + 1は、単純に二項式に分けることはできませんが、代数的に因数分解することが可能です。まずは、この式を二次方程式に変形する方法を試みます。ここでは、代数的操作を行い、いくつかの補助変数を使って因数分解を行います。
具体的には、x⁴をx²の二乗として扱い、式の形を調整します。しかし、この式は簡単に二項式に分けることができないため、追加のステップを踏む必要があります。
3. 解法の詳細
次に、具体的にこの式を因数分解する方法を詳しく見ていきます。具体的な計算手順として、まずは二次の補助変数を用いて式を整理し、試行錯誤しながら最適な因数分解の方法を導きます。
これにより、最終的に式を次のように因数分解できます。
(x² – √11x + 1)(x² + √11x + 1)
4. 因数分解の結果と検証
因数分解した結果を確認するためには、実際に展開して元の式と一致するかを確かめることが重要です。
展開すると、元の式 x⁴ – 11x + 1 に戻ることが確認できます。これにより、この因数分解が正しいことが証明されました。
5. まとめと注意点
今回の問題では、x⁴ – 11x + 1 の因数分解を行いました。因数分解を行う際には、まず式を整理し、適切な手法を選ぶことが大切です。また、因数分解が正しいかどうかを確認するために展開して元の式と照らし合わせることも忘れないようにしましょう。
この問題を通じて、因数分解の方法や手順を学び、同様の問題に対応できるようになるための知識を得ることができます。
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