四角形ACFEの面積を求める方法 - 回転後の三角形ABCと交点の計算

この問題では、平面上にある三角形ABCに対して、頂点Aを固定して反時計回りに60°回転させた後の新たな四角形ACFEの面積を求めます。回転後の点Bと点Cが点D、点Eに対応し、半直線BCと辺DEの交点が点Fとなるようにしています。この問題の解法には、幾何学的な回転の理解と交点の計算が重要です。

1. 三角形ABCの回転操作の理解

まず最初に、与えられた三角形ABCの各辺の長さを確認します。三角形ABCの辺の長さはAB=8, BC=7, CA=3です。この三角形を、頂点Aを固定した状態で反時計回りに60°回転させます。

回転操作を行う際、回転行列を用いて点Bと点Cの新しい位置を計算します。これにより、移動後の点Bと点Cの座標を求めることができます。回転後の点Bを点D、点Cを点Eとすると、四角形ACFEが形成されます。

回転後の点Bと点Cは、回転行列を使ってそれぞれ点Dと点Eに対応します。回転行列を用いることで、点Bの座標を計算し、さらに点Cの座標も同様に求めます。これらの点Dと点Eが、新たに形成された四角形ACFEの一部を構成します。

回転行列を用いる際、点B(x₁, y₁)と点C(x₂, y₂)に対して、反時計回りの60°回転の結果、以下の式を使って新しい座標を計算します。

新しい座標 = [cos(60°) -sin(60°); sin(60°) cos(60°)] * [x; y]

この計算により、点Bと点Cの新しい位置が明確に決まります。

次に、点Dと点Eを通る直線と、元々の三角形ABCの辺BCとの交点を求めます。この交点を点Fと呼びます。点Fは、四角形ACFEの一部を形成する重要な点です。

交点Fの座標を求めるためには、直線BCと直線DEの方程式を求め、それらの交点を計算する必要があります。直線の方程式は、点A、B、Cの座標を基にして求めることができます。その後、交点を計算することで点Fの位置を特定できます。

四角形ACFEの面積を求めるためには、与えられた四角形の頂点座標を用いて面積公式を使います。四角形の面積は、頂点A、C、F、Eの座標を使って計算することができます。

面積計算には、座標平面上での四角形の面積公式を使います。例えば、四角形の面積は、各三角形の面積を合計する方法で求められます。面積計算を通じて、四角形ACFEの面積が求められます。

この問題を解くためには、三角形ABCの回転操作から始めて、点D、E、Fの座標を順次求めることが重要です。その後、求めた座標を使って四角形ACFEの面積を計算することができます。

回転行列を使った座標の計算や、交点の求め方、四角形の面積の計算方法を理解することが、この問題の解法において重要なポイントです。この問題を通じて、幾何学的な回転の理解と交点の計算技術を学ぶことができます。