一次偏微分方程式 yz∂u/∂x+zx∂u/∂y+xy∂u/∂z=xyz の一般解を特性曲線法で解説

複数の変数が絡む一次偏微分方程式は、一見すると難解に見えますが、考え方を整理すると体系的に解くことができます。本記事では、yz∂u/∂x+zx∂u/∂y+xy∂u/∂z=xyz という代表的な一次偏微分方程式を題材に、特性曲線法を用いた一般解の導出を丁寧に解説します。

与えられた偏微分方程式の特徴

考える方程式は、未知関数 u(x,y,z) に対する一次の偏微分方程式です。係数が x,y,z の積で対称的に構成されている点が大きな特徴で、特性曲線法との相性が良い形をしています。

この種の方程式では、偏微分を通常の微分に置き換えて考える「特性曲線」を導入することで、問題を常微分方程式の集まりとして扱うことができます。

一次偏微分方程式 yz u_x+zx u_y+xy u_z=xyz に対し、特性曲線法を適用すると、次の比の形の特性方程式が得られます。

dx/(yz)=dy/(zx)=dz/(xy)=du/(xyz)

ここから、変数同士の関係式を一つずつ導き出していくことが解法の中心になります。

まず dx/(yz)=dy/(zx) に注目して左右を整理すると、x dx=y dy という形になります。これを積分することで x^2−y^2=C1 という第一の不変量が得られます。

同様に、dx/(yz)=dz/(xy) からは x dx=z dz が導かれ、積分すると x^2−z^2=C2 という第二の不変量が得られます。これらは特性曲線に沿って一定となる量です。

次に dx/(yz)=du/(xyz) を考えます。整理すると x dx=du となり、u について直接積分できる形になります。

これを積分すると u=x^2/2+F(C1,C2) となります。ここで F は、先ほど求めた二つの不変量 C1=x^2−y^2, C2=x^2−z^2 の任意関数です。

以上より、与えられた偏微分方程式の一般解は u(x,y,z)=x^2/2+F(x^2−y^2,x^2−z^2) と表されます。F が任意関数であることが「一般解」であることを意味します。

例えば、F=0 とすれば特定の解 u=x^2/2 が得られますし、F(s,t)=s+t のように選べば、別の具体解を構成することもできます。

本記事では、対称的な構造をもつ一次偏微分方程式に対して、特性曲線法を用いて一般解を導出しました。比の形で特性方程式を立て、不変量を見つけることが解法の要点です。

同様の形の問題では、今回の手順をそのまま応用できます。一次偏微分方程式は計算よりも方針理解が重要な分野なので、ぜひ考え方ごと身につけてみてください。