関数解析における閉作用素の証明：閉部分空間から有界線形作用素が閉作用素である理由

関数解析において、ノルム空間XとYにおける有界線形作用素Tに関する問題は非常に重要です。特に、Tが閉作用素であるための条件として、Tが定義される部分空間D(T)がXの閉部分空間である場合について解説します。

1. 閉作用素の定義とその重要性

閉作用素とは、作用素Tが定義された空間で収束する列がその空間内で収束する場合に、その作用素が閉作用素であると言います。ここでの目標は、Tが閉作用素であることを示すために、Tの定義域D(T)が閉部分空間であれば、Tが閉作用素であることを証明することです。

まず、作用素Tが定義された空間XとYにおいて、D(T)がXの閉部分空間であるとします。このとき、D(T)内で収束する任意の列がTの作用に対して収束することを示すために、収束列の挙動を注意深く観察する必要があります。

次に、具体的にTが閉作用素であることを証明するために、Tの作用における収束性を確認します。具体的には、Tが定義された部分空間D(T)における収束列が、そのままXの閉部分空間内で収束することを証明します。

これらのステップを通じて、Tの定義域D(T)がXの閉部分空間である場合、Tは閉作用素であることが示されます。この証明により、ノルム空間における有界線形作用素が閉作用素であるための条件が明確になります。

閉作用素に関する問題は、定義域の特性と収束性をしっかりと理解することが解決の鍵となります。今回の問題のように、D(T)が閉部分空間であればTが閉作用素であることが分かりました。引き続き、関数解析における作用素の性質を深く理解していくことが重要です。