1 = 0.999... の真実と他の整数との関係について解説

「1 = 0.999…」という数学的な命題は、直感に反するかもしれませんが、実際には正しいと証明されています。この現象を理解するためには、小数や無限級数についての知識が必要です。本記事では、1が0.999…に等しい理由を解説し、他の整数との関係についても考察します。

1 = 0.999… が意味するもの

「1 = 0.999…」という式は、無限に続く9の後に「…」がついている無限小数を示しています。直感的には、0.999…は1に非常に近いが、1にはならないと思われがちです。しかし、実際にはこの2つは同じ数を表しています。

その理由を理解するためには、無限級数とその収束について知る必要があります。0.999…は実際には無限級数として見ることができ、これが1に収束するのです。

0.999…は次のような無限級数として表せます。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …

この式は、各項が10分の1ずつ小さくなっていく形の無限級数です。この級数は収束して、最終的に1になります。無限に続く項を足し合わせると、1にぴったりと収束することがわかります。

無限級数の収束に関して、次のような数学的な公式を使うことができます。

無限級数 S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … の和は、r が1より小さい場合、次の式で表されます。

S = a / (1 – r)

ここで、a は最初の項（この場合は0.9）、r は公比（この場合は0.1）です。したがって、0.999…の和は次のように計算できます。

S = 0.9 / (1 – 0.1) = 0.9 / 0.9 = 1

このように、0.999…は数学的に1と等しいことが証明できます。

「1 = 0.999…」が成立する理由を理解した後、他の整数や無限小数についても考えてみましょう。整数のように見える無限小数が、実際にはその数と同じである場合があります。

例えば、1/3は無限小数で0.333…となりますが、これを3倍すると1になります。同様に、他の分数や無限小数も整数と等しい場合があるため、無限級数を利用することで整数との関係をより深く理解できます。

「1 = 0.999…」という命題は、無限級数が収束する性質によって成り立っています。この命題を理解することにより、無限小数や級数が整数とどのように関連するかを学ぶことができます。数学の世界では、無限に続くものが実際には1つの整数や数に収束するという面白い事例が多くあります。