方程式 cos(x) = x – 1 の実数解が 0 < x < π/2 の範囲に存在するかを示すには、挟み撃ちの原理を用いるのが有効です。本記事では、この方程式の解法を段階的に解説します。挟み撃ちの原理を使うことで、解が存在することを証明する方法を見ていきます。
挟み撃ちの原理とは
挟み撃ちの原理は、連続関数に関する重要な定理であり、ある区間で関数が異符号で評価されていれば、その区間内に少なくとも1つの解が存在することを示します。この原理を使うことで、方程式の解が存在する範囲を示すことができます。
具体的には、関数 f(x) が連続であり、区間 [a, b] で f(a) と f(b) が異符号であれば、f(x) = 0 を満たす解が [a, b] の間に存在します。この原理を使って、与えられた方程式の解が存在することを証明します。
方程式 cos(x) = x – 1 の準備
方程式 cos(x) = x – 1 を解くためには、まず f(x) = cos(x) – (x – 1) という関数を定義します。この関数が 0 を取る点が、求める解となります。
したがって、f(x) = cos(x) – x + 1 という関数を考え、これが 0 となる x の値を求めます。次に、この関数が 0 になる区間を見つけるために、いくつかの特定の値で関数を評価します。
f(x) の評価と区間の設定
関数 f(x) = cos(x) – x + 1 の値を、x の範囲 0 < x < π/2 で評価してみましょう。
まず、x = 0 の時、f(0) = cos(0) – 0 + 1 = 1 + 1 = 2 です。
次に、x = π/2 の時、f(π/2) = cos(π/2) – π/2 + 1 = 0 – π/2 + 1 = 1 – π/2 ≈ -0.5708 です。
したがって、f(0) = 2 と f(π/2) ≈ -0.5708 で異符号であるため、挟み撃ちの原理を適用することができます。
挟み撃ちの原理を使った証明
f(x) = cos(x) – x + 1 は連続関数であり、区間 [0, π/2] で f(0) > 0 および f(π/2) < 0 となっているため、挟み撃ちの原理により、この区間内には少なくとも1つの解が存在することが確定します。
従って、方程式 cos(x) = x – 1 は 0 < x < π/2 の範囲に実数解を持つことが証明されました。
まとめ
挟み撃ちの原理を使って方程式 cos(x) = x – 1 の実数解が 0 < x < π/2 の範囲に存在することを示しました。まず、関数 f(x) = cos(x) - x + 1 を定義し、f(0) と f(π/2) の値が異符号であることを確認しました。この結果により、挟み撃ちの原理を適用して解が存在することが証明されました。
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