この質問は、与えられた条件に基づいて多項式P(x)を求める問題です。問題文では、P(P(x)) = P(x²) という関係式が与えられ、P(x)の具体的な形を導出する過程についての疑問が呈されています。ここでは、特にその解法の過程で出てきた疑問点について解説します。
多項式P(x)の一般的な形を求める方法
まず、P(x)が定数でない場合の解法から始めます。P(x)が定数の場合、任意のxに対してP(x)はその定数値を持つため、与えられた条件P(P(x)) = P(x²)は成り立ちます。しかし、P(x)の次数が1以上の場合、次のようにして多項式の形を求めることができます。
次数を求める過程
次に、P(x)が次数1以上の多項式であると仮定し、P(x)の最高次の項をaxⁿとおきます。このとき、P(P(x))の展開では、P(P(x)) = P(axⁿ + …) の形になります。これを展開すると、最高次の項はa(axⁿ)ⁿ + … となり、結果的にxのn²乗に比例する項が現れます。
一方で、P(x²)の展開は、P(x²) = a(x²)ⁿ + … の形になります。ここで、P(P(x))とP(x²)の両辺の次数を比較することで、n² = 2n という関係が得られ、最終的にn = 2と求めることができます。
係数の比較と解法
次に、P(x)をP(x) = ax² + bx + cの形で仮定し、P(P(x))とP(x²)の両辺を比較します。与えられた式に代入し、係数を比較することで、最終的にa³ = aという方程式を得ることができます。この方程式を解くと、a = ±1という結果が得られ、さらにb = 0、c = 0と判明します。
これにより、P(x)は次のように限定されます：P(x) = x²またはP(x) = -x²の2つの解が得られます。
疑問点の解消：なぜnだけを求めたのか？
質問者は、なぜnのみを求めたのかについて疑問を持っていますが、これは多項式の最高次の項を考慮した場合、次数が重要であり、nの値を求めることで次に進むためです。この過程で、nの値が確定すると、次の計算で必要な解を導き出すことができます。
まとめ
この問題では、与えられた条件P(P(x)) = P(x²)を満たす多項式P(x)を求めるために、次数を比較し、係数を求める手法を使用しました。最終的に、P(x) = x²またはP(x) = -x²という解が得られました。この問題を解く過程での疑問点についても詳細に説明しましたが、基本的な考え方としては、多項式の次数や係数を比較することが重要であることがわかります。
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