数学的帰納法の理解: n=kの仮定とn=k+1の成り立ち

数学的帰納法は、自然数に関する命題が全ての自然数に対して成り立つことを証明する強力な方法です。特に、帰納法における「n=kの場合に成り立つことを仮定し、n=k+1の場合に成り立つことを示す」手法について、なぜそのように証明するのかについて深く理解することが大切です。

数学的帰納法の基本構造

数学的帰納法は、以下の2つのステップから成り立っています。

これらのステップを踏むことで、n=1から始まり、すべての自然数nに対して命題が成り立つことが証明されます。

質問にある「なぜn=kが成り立つと仮定した場合、n=k+1で成り立つことが分かるのか？」という点ですが、これは帰納法の中心的な考え方です。n=kの場合に命題が成り立つことを仮定して、それを使ってn=k+1でも命題が成り立つことを証明します。

具体的には、n=kの場合が正しいと仮定することによって、その仮定を次のステップで使い、n=k+1の場合にも命題が成り立つことを導きます。これによって、自然数全体に対して命題が成り立つことが確実に証明されます。

例えば、自然数nについて「n番目のフィボナッチ数が2の倍数である」という命題があるとします。数学的帰納法を使って、この命題がすべての自然数nに対して成り立つことを証明する場合、次のように進めます。

数学的帰納法では、n=kの仮定を使ってn=k+1の場合を証明します。これにより、全ての自然数に対して命題が成り立つことを確実に導きます。この手法は、他の多くの数学的命題を証明するための強力なツールであり、しっかりと理解して使いこなすことが重要です。