関数 f(x) = x² + 1 において、点 (2, 1) における接線の方程式を求める問題を解説します。この問題を解くためには、接線の方程式を求める基本的な方法を理解し、計算過程を追うことが重要です。この記事では、接線の方程式を求めるためのステップを詳しく説明します。
接線の方程式の求め方
接線の方程式は、微分を使って求めます。まず、接線が与えられた点で関数の傾きと一致する必要があるため、関数の微分を求め、接点での傾きを計算します。その後、点と傾きを使って接線の方程式を導出します。
1. 微分して傾きを求める
関数 f(x) = x² + 1 を微分して、接線の傾きを求めます。微分の公式に従って、f'(x) を求めると。
f'(x) = 2x
これが関数の導関数であり、x の値に対して接線の傾きを与えます。
2. 接点での傾きを計算
次に、接点 (2, 1) における接線の傾きを求めます。x = 2 のときの f'(2) を計算すると。
f'(2) = 2 × 2 = 4
したがって、接線の傾きは 4 です。
3. 接線の方程式を求める
接線の方程式は、点 (x₀, y₀) と傾き m を使って、次の公式で求めます。
y - y₀ = m(x - x₀)
ここで、(x₀, y₀) は接点 (2, 1)、m は接線の傾き 4 です。これを公式に代入すると。
y - 1 = 4(x - 2)
この式を展開すると、接線の方程式は。
y - 1 = 4x - 8
これを整理すると。
y = 4x - 7
まとめ：接線の方程式
したがって、f(x) = x² + 1 の点 (2, 1) における接線の方程式は、y = 4x – 7 です。
接線の方程式を求めるには、まず微分して傾きを求め、次に点と傾きを使って接線の方程式を導出します。このプロセスを理解することは、微積分を学ぶ上で非常に重要です。
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