数学の問題「an=(-2)^n-1＋1の時、Σ[k:1から10] |an|の値を求める方法」について解説します。まず、問題を解くための基本的なステップを説明し、さらに効率的な計算方法を考えていきます。
問題の整理
与えられた数列anは「an = (-2)^n – 1 + 1」となっています。この式を整理すると、an = (-2)^nという形になります。
次に、この数列の絶対値をとったΣ[k=1から10] |an|の値を求めるのが目標です。この問題では、一般的な等比数列の和の公式を使用しない方法で計算します。
数列anの挙動
数列an = (-2)^nは、nが奇数の場合は負の値、nが偶数の場合は正の値となります。したがって、|an|（絶対値）をとると、全ての項は正の値となります。
具体的に数列の最初のいくつかの項を計算してみましょう。
- n=1: a1 = (-2)^1 = -2 → |a1| = 2
- n=2: a2 = (-2)^2 = 4 → |a2| = 4
- n=3: a3 = (-2)^3 = -8 → |a3| = 8
- n=4: a4 = (-2)^4 = 16 → |a4| = 16
このように、|an|の値はnが増えるごとに2の累乗で増加します。
Σ[k=1から10] |an|の計算方法
次に、Σ[k=1から10] |an|を求めます。n=1から10までの|an|の値を足し合わせればよいのですが、ここでは一つずつ計算する方法ではなく、以下の計算方法で進めます。
- n=1: |a1| = 2
- n=2: |a2| = 4
- n=3: |a3| = 8
- n=4: |a4| = 16
- n=5: |a5| = 32
- n=6: |a6| = 64
- n=7: |a7| = 128
- n=8: |a8| = 256
- n=9: |a9| = 512
- n=10: |a10| = 1024
これらを全て足し合わせると、Σ[k=1から10] |an|の合計は2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2046となります。
まとめ
この問題を解くためには、与えられた数列の各項の絶対値を計算し、足し合わせる方法で解答を求めました。等比数列の和の公式を使わなくても、項ごとに絶対値を計算していくことで、簡単に答えを得ることができました。具体的な計算は少し手間がかかりますが、基本的な計算で解決可能です。
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