このページでは、公比が分数である階差数列について、簡単な問題を通してその解き方を解説します。プラスとマイナスの公比に関して、各1題ずつ例題を紹介し、解答と解き方を説明します。
公比が分数の階差数列：プラスの場合
まずは、公比が分数の階差数列のプラスの例題です。具体的な問題を解いていきます。
例題1
初項が1で、公比が1/2の階差数列の第n項を求めなさい。
階差数列の一般項は、次のように表されます。
an = a1 × r^(n-1)
ここで、a1 = 1（初項）、r = 1/2（公比）です。これを代入すると。
an = 1 × (1/2)^(n-1)
例えば、n = 4の場合。
a4 = (1/2)^(4-1) = (1/2)^3 = 1/8
したがって、4番目の項は1/8です。
公比が分数の階差数列：マイナスの場合
次に、マイナスの公比を使った階差数列の例題を解いてみましょう。
例題2
初項が2で、公比が-1/3の階差数列の第n項を求めなさい。
この問題でも、一般項の公式を使います。
an = a1 × r^(n-1)
ここで、a1 = 2（初項）、r = -1/3（公比）です。これを代入すると。
an = 2 × (-1/3)^(n-1)
例えば、n = 3の場合。
a3 = 2 × (-1/3)^(3-1) = 2 × (-1/3)^2 = 2 × 1/9 = 2/9
したがって、3番目の項は2/9です。
階差数列の解き方のポイント
階差数列を解く際のポイントは、まず一般項の公式を使うことです。公比が分数であっても、公式をしっかりと理解すれば簡単に計算できます。また、プラスとマイナスの公比では数列の振る舞いが異なるので、それぞれの特徴を理解しておくことが大切です。
まとめ
公比が分数の階差数列では、一般項の公式を使って、任意のn番目の項を計算できます。プラスとマイナスの公比の違いを理解し、それぞれの性質を活かすことで問題をスムーズに解くことができます。今回の例題を参考に、階差数列の問題を解く力をつけましょう。
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