このページでは、高校数学の数列の問題において、公比が分数である階差数列についての例題を紹介し、それぞれの解き方を解説します。プラスの公比とマイナスの公比、それぞれについて簡単な問題を解いていきます。
公比が分数の階差数列：プラスの場合
まず、プラスの公比を使った階差数列の例題を解いてみましょう。
例題1
初項が1で、公比が1/2の階差数列の第n項を求めなさい。
階差数列の一般項は、次のように表されます。
an = a1 × r^(n-1)
ここで、a1 = 1（初項）、r = 1/2（公比）です。これを代入すると。
an = 1 × (1/2)^(n-1)
この式を使って、任意のn番目の項を求めることができます。例えば、n = 3の場合。
a3 = (1/2)^(3-1) = (1/2)^2 = 1/4
したがって、3番目の項は1/4です。
公比が分数の階差数列：マイナスの場合
次に、マイナスの公比を使った階差数列の例題を解いてみましょう。
例題2
初項が2で、公比が-1/3の階差数列の第n項を求めなさい。
この問題でも、一般項の公式を使います。
an = a1 × r^(n-1)
ここで、a1 = 2（初項）、r = -1/3（公比）です。これを代入すると。
an = 2 × (-1/3)^(n-1)
この式を使って、任意のn番目の項を求めることができます。例えば、n = 4の場合。
a4 = 2 × (-1/3)^(4-1) = 2 × (-1/3)^3 = 2 × (-1/27) = -2/27
したがって、4番目の項は-2/27です。
階差数列の解き方のポイント
階差数列の問題を解くときには、まず一般項の公式を思い出すことが重要です。公式は、初項と公比がわかれば簡単に第n項を求めることができます。
また、プラスの公比やマイナスの公比によって数列の振る舞いが異なるので、それぞれの特徴を理解しておくと便利です。
まとめ
階差数列では、公比が分数であっても、一般項の公式を使うことで簡単に解くことができます。プラスの公比やマイナスの公比に関しても、それぞれの性質を理解し、問題を解く際には公式を適切に使うことが大切です。
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