複素数の回転: z=2+4iをπ/2回転させた結果w=-4+2iを求める方法

複素数の回転について理解を深めたい方に向けて、この記事では複素数を原点を中心に回転させる方法を解説します。例えば、複素数z=2+4iをπ/2だけ回転させた新しい複素数wを求める問題を解いていきます。

複素数の回転とは？

複素数の回転は、複素平面上で原点を中心に角度を指定して複素数を回転させる操作です。回転を行うには、複素数の極形式を用いる方法が有効です。この方法では、複素数の大きさと角度を利用して回転後の位置を計算できます。

問題として、複素数z=2+4iが与えられ、これを原点を中心にπ/2だけ回転させた新しい複素数wを求める問題です。まず、複素数zの極形式を求めます。

複素数z=2+4iを極形式に変換するには、まず複素数の大きさrと偏角θを求めます。大きさrは、次の式で求めます:

r = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

次に、偏角θを求めるために、タンジェント関数を使います:

θ = tan⁻¹(4/2) = tan⁻¹(2) ≈ 1.1071ラジアン

回転は複素数の極形式を用いて行います。回転角度がπ/2である場合、回転後の新しい偏角は元の偏角にπ/2を加えます:

θ’ = θ + π/2 ≈ 1.1071 + 1.5708 ≈ 2.6779ラジアン

回転後の複素数の大きさは変わらないため、新しい複素数wの大きさは2√5のままです。

回転後の複素数wを求めるには、極形式から直交座標形式に戻す必要があります。新しい複素数wの実部と虚部は次の式で求めます:

w = r(cos(θ’) + i sin(θ’))

w = 2√5 (cos(2.6779) + i sin(2.6779))

これを計算すると、w ≈ -4 + 2i となります。

複素数z=2+4iを原点を中心にπ/2だけ回転させると、新しい複素数wは-4+2iになります。このように、複素数の回転を理解することで、複雑な問題でも解法を明確にすることができます。複素数の回転は、極形式を使用することで簡単に計算できるので、ぜひ活用してみてください。