この問題では、与えられた関数 f(x) = (x²+αx+β)e⁻ˣ の微分、極値、変曲点について求める問題を解説します。微分法や極値、変曲点の概念を理解するために、順を追って問題を解いていきます。
問題(1): f'(x) および f”(x) を求める
まず、関数 f(x) = (x²+αx+β)e⁻ˣ を微分していきます。ここでは積の微分法則を使用します。積の微分法則によると、積の微分は次のように求められます。
(u・v)’ = u’v + uv’
ここで、u = (x² + αx + β) と v = e⁻ˣ です。それぞれの微分を求めます。
u’ = 2x + α, v’ = -e⁻ˣ です。
したがって、f'(x) は次のように計算されます。
f'(x) = (2x + α)e⁻ˣ – (x² + αx + β)e⁻ˣ
次に、f”(x) を求めます。f'(x) の微分を再度行うと、次のように計算できます。
f”(x) = [(2x + α)e⁻ˣ]’ – [(x² + αx + β)e⁻ˣ]’
同様に積の微分法則を適用し、f”(x) を求めます。
問題(2): x = 1 で f(x) が極値をとるための条件
次に、関数 f(x) が x = 1 で極値をとるための条件を求めます。極値を求めるためには、まず f'(x) = 0 の条件を使います。
f'(x) の式に x = 1 を代入して、α と β の関係式を求めます。これにより、x = 1 で極値をとるための α と β の条件が得られます。
問題(3): 極値と変曲点の条件を求める
最後に、x = 1 で極値をとり、点(4, f(4))が曲線 y = f(x) の変曲点となるように、α と β の値を定める問題です。
まず、x = 1 での極値を条件として求め、次に変曲点を求めます。変曲点は、f”(x) = 0 のときに発生します。さらに、与えられた点(4, f(4))が変曲点であるという条件を使って、α と β の値を特定します。
この方法を使うことで、問題のすべての条件を満たす α と β を求めることができます。
まとめ
この問題では、関数 f(x) の微分を求め、極値と変曲点の条件を計算しました。積の微分法則を使って微分を行い、極値と変曲点を求めることで、与えられた条件を満たす α と β の値を特定しました。このように、微分法や極値、変曲点を求める方法を理解することで、複雑な関数の解析ができるようになります。
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