この問題では、2つの曲線C1とC2のグラフが与えられ、これらの曲線とy軸、直線x=b-aによって囲まれる面積を求める問題です。特に、C2のx=b-aにおける接線がC1と接する時、面積の差T-Sをaの式で表すことが求められています。この記事では、問題を解くためのアプローチと計算のポイントを解説します。
問題の設定と基本の理解
まず、2つの曲線C1とC2が与えられます。C1はy=√(a²-x²)、C2はy=√(b²-(x-b)²)のグラフです。それぞれの曲線は半径aとbの円弧であり、y軸および直線x=b-aによって囲まれた面積を求めることが求められています。
また、C2のx=b-aにおける接線がC1と接する時に、面積TとSの差を求める必要があります。このような問題は、図形の性質や接線の計算を活用することで解けます。
接線の計算と接点の求め方
C2の接線がC1と接するためには、C1とC2が接する点で接線の傾きが一致する必要があります。まず、C2のx=b-aにおける接線の傾きを求めるために、C2の微分を行います。
微分を行うと、接線の傾きはC2の導関数によって求められます。次に、C1の微分を行い、C1とC2が接する点での傾きが一致するように設定します。これにより、接点が決まります。
面積SとTの計算
次に、SとTを計算する方法を説明します。まず、SはC1とC2、y軸で囲まれた領域の面積です。この面積は、x軸方向に積分することで求めることができます。具体的には、C1とC2の式をそれぞれ積分して、y軸との交点での値を引きます。
Tは、C1とC2、直線x=b-aで囲まれた面積です。この面積も同様に積分によって求めることができ、直線x=b-aが面積に与える影響を考慮して積分します。
計算の簡略化とポイント
問題を解くためには、いくつかのポイントに気づくことで計算を簡略化できます。例えば、C1とC2の曲線が対称性を持っていることに注目すると、積分を半分に分けることで計算が楽になります。
また、接線がC1と接する条件をうまく利用することで、面積TとSをaの式で表すことができます。このような条件をうまく活用することで、問題の計算を効率よく解くことができます。
まとめ：面積T-Sの求め方
この問題では、C1とC2の接点を求め、そこから面積SとTを計算して、その差T-Sをaの式で表すことが求められています。接線の傾きが一致する点を見つけ、積分を用いて面積を求めることで、最終的に答えを導き出すことができます。
問題を解く際には、対称性や接線の条件を利用することで、計算を効率よく進めることができる点がポイントです。ぜひ、これらの計算手法を活用してみてください。
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