行列の対角化は線形代数において非常に重要な概念ですが、計算過程でつまずくこともあります。この解説では、行列A={(1 0 -1), (1 2 1), (2 2 3)}を対角化する方法を順を追って説明します。特に、行列Pとその逆行列P-1を用いた計算方法に焦点を当て、どこで間違いやすいのかを解説します。
行列Aの固有値と固有ベクトルの求め方
行列Aを対角化するためには、まずその固有値を求める必要があります。固有値λは次の固有値方程式を満たします。
det(A - λI) = 0
ここで、Aは行列、Iは単位行列、λは固有値です。この方程式を解くことで、行列Aの固有値を求めることができます。行列Aに対して計算を進めると、固有値がλ1、λ2、λ3であることが分かります。
固有ベクトルの求め方
固有値が求められたら、それに対応する固有ベクトルを求めます。固有ベクトルvは次の方程式を満たします。
(A - λI)v = 0
固有値λごとに、この方程式を解くことで固有ベクトルvを得ることができます。各固有ベクトルが求まったら、これらを行列Pの列ベクトルとして配置します。これで行列Pが求められます。
行列PとP-1の計算
行列Pを求めた後は、その逆行列P-1を求める必要があります。P-1を計算する方法は通常、行列の逆行列を求める方法と同じです。行列Pとその逆行列P-1が求まったら、行列Aの対角化は次の式で行います。
A = P D P-1
ここで、Dは対角行列で、Aを対角化した結果を表します。この式を使ってAの対角化を完了させます。
実際の計算例
具体的に計算を進めると、行列A={(1 0 -1), (1 2 1), (2 2 3)}の対角化が次のように進みます。
- 固有値λ1、λ2、λ3を求める
- それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める
- 固有ベクトルを行列Pに配置する
- 行列Pの逆行列P-1を求める
- 対角行列Dを求め、A = P D P-1を計算する
まとめ
行列の対角化は、固有値と固有ベクトルを求めることから始まります。P-1 A Pの計算過程では、固有ベクトルを行列Pに配置し、その逆行列P-1を用いて行列Aを対角化します。計算の順番を守り、各ステップでの計算ミスを避けることが重要です。このプロセスを理解することで、行列の対角化がスムーズにできるようになります。
コメント