この問題では、指数関数y=3^(x-1)とy=3^xの位置関係について考えます。具体的には、y=3^(x-1)がy=3^xと比べてどのように変化するのか、特に「x軸方向に1平行移動」「y軸方向に1/3倍」という変化の理由を理解することが求められています。この記事では、この問題の解き方を詳しく解説します。
1. 指数関数の基本的な性質
指数関数y=3^xは、xが増加するにつれて急激に増加します。関数の形は、原点(0, 1)を通る曲線であり、x軸に対して右上がりの傾きを持っています。この関数の形状は、基数が3であるため、xの値が1増えるとyの値が3倍になる特徴を持っています。
2. y=3^(x-1)の変化
次に、y=3^(x-1)という関数について考えます。y=3^(x-1)は、y=3^xのグラフをx軸方向に1単位だけ平行移動したものです。具体的には、y=3^xのグラフに対して、すべての点が右に1単位移動した位置にy=3^(x-1)のグラフが描かれます。
なぜこのような変化が起きるのかというと、指数関数の指数部分がx-1になっているからです。これにより、元々x=0であった点がx=1に移動し、全体的に右に1単位移動することになります。
3. y軸方向の変化と1/3倍の理由
次に、y軸方向についてです。y=3^(x-1)とy=3^xの位置関係では、y軸方向に1/3倍になる理由について解説します。
y=3^(x-1)を展開すると、次のように書き換えることができます。
y=3^(x-1) = (1/3) * 3^x
この式からわかるように、y=3^(x-1)はy=3^xを1/3倍したものに相当します。つまり、y=3^(x-1)はy=3^xのグラフをy軸方向に1/3倍縮小したグラフになります。
4. 結論：なぜy軸方向に1/3倍ではなく1平行移動とすべきか
問題での模範解答にあるように、「x軸方向に1平行移動」というのは、単純に関数の式がx-1に変わったことから起こる現象です。一方、y軸方向の変化は、指数の形状から考えると1/3倍ではなく、関数の構造により右に1単位移動した結果として解釈されます。
また、y=3^(x-1)の式では、y軸方向の変更が1/3倍ではなく、式に表れた1/3の係数がつくことを理解することが重要です。これにより、y軸方向の変化は縮小ではなく、移動に関わる解釈となります。
5. まとめ
y=3^(x-1)とy=3^xの位置関係は、x軸方向に1単位の平行移動とy軸方向に1/3倍の縮小ではなく、y=3^(x-1)がy=3^xのグラフを右に1単位移動したものとして理解します。このような変化を正確に理解することが、指数関数の問題を解く上で非常に重要です。
コメント