底面と高さの和が1の立体の体積を求める問題：正方形の底面と微分を使った解法

底面と高さの和が1で、底面が正方形の立体の体積を求める問題は、微分を使った最適化の問題としてよく登場します。この問題では、底面をxと置き、体積の式を求めて微分する方法が使われます。この記事では、問題を解く手順と正方形の底面について詳しく解説します。

1. 問題の設定と底面の意味

まず、問題を整理しましょう。底面と高さの和が1という条件が与えられており、底面が正方形の立体を考えます。このような立体の体積を求める際、まず「底面」をどのように定義するかが重要です。

問題での「底面」は、立体の一番下に位置する面、つまり、最も広い面を指します。正方形の底面をxとして、その高さは「1 – x」と表せます。

底面が正方形で、1辺の長さがxである場合、底面の面積はx²です。高さは1 – xなので、この立体の体積Vは次のように表されます。

V = x² * (1 – x)

この式は、与えられた条件に基づいて、立体の体積を求めるための式です。

次に、体積Vを最大化するために微分を行います。まず、体積V = x²(1 – x)をxについて微分します。

V’ = 2x(1 – x) – x² = 2x – 3x²

微分した式を0に設定して解くことで、最適なxを求めます。

0 = 2x – 3x²

解くと、x = 0 または x = 2/3 となります。x = 0は不適切な解なので、x = 2/3が最適な解です。

最適なx = 2/3を使って、実際に体積を計算します。まず、高さは1 – xなので、1 – 2/3 = 1/3です。

底面の面積は(2/3)² = 4/9です。したがって、体積Vは次のように計算できます。

V = (4/9) * (1/3) = 4/27

このように、体積は4/27立方センチメートルとなります。

この問題では、底面と高さの和が1という条件から、正方形の底面の面積を求め、微分を使って最適なxの値を導きました。その後、最適なxを使って体積を計算し、最終的に体積は4/27立方センチメートルであることが分かりました。

問題の核心は、「底面」が何を意味するかを正確に理解することです。正方形の底面をxとして、適切な微分の手順を踏むことで、最適な解を得ることができます。