数学Cの問題解説：直線lに垂直な直線OHの座標を求める方法

数学Cの問題で、点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)を通る直線lに対して、原点Oから垂線OHを下ろすという問題があります。ここでは、垂線OHが直線lと交わる点Hの座標を求める方法について解説します。

1. 問題の理解と設定

まず、問題を整理します。直線lは点Aと点Bを通ります。原点Oから直線lに垂線を下ろすとき、その交点Hを求めるのがこの問題です。直線の方程式を求め、垂線の方程式を使ってHの座標を求めます。

直線lは点Aと点Bを通るので、直線lの方向ベクトルは点Aから点Bへ向かうベクトルになります。点Aから点Bのベクトルは、Bの座標からAの座標を引いたものです。

点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)の座標を使って、ベクトルABを求めると、ベクトルAB = (0 – (-1), 4 – 2, 1 – 3) = (1, 2, -2)です。これが直線lの方向ベクトルです。

垂線OHは直線lに垂直であるため、直線lの方向ベクトル(1, 2, -2)と垂直でなければなりません。ベクトルABと垂直なベクトルを求めるためには、内積がゼロになるようなベクトルを求めます。

ベクトルOHの座標を(x, y, z)とすると、ベクトルABとの内積は以下のように表せます：
1 * x + 2 * y + (-2) * z = 0。これが垂直条件になります。

垂線OHの方向ベクトルが求められたら、次に直線lとの交点Hを求めます。直線lは点Aを通り、方向ベクトルが(1, 2, -2)の直線です。この直線の方程式は、点Aを通る直線方程式として次のように表せます。

x = -1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 – 2t (tはパラメータ)。

この直線と垂線OHの交点を求めるには、垂線の方程式と直線lの方程式を連立させて解くことでHの座標を得ることができます。

直線lに垂直な垂線OHの交点Hを求める問題は、直線の方程式を立て、その方程式に基づいてベクトルの内積を使って垂直条件を満たす解を求めるという方法で解くことができます。正確な座標を求めるためには、数学的な計算を慎重に行いましょう。