数学の問題: 十分条件であり、必要条件ではない理由を解説

この問題は、整数m、nに関する条件を使って、rが「pまたはq」である条件を明らかにし、十分条件と必要条件の違いを理解する問題です。以下でその解説を行い、なぜ「十分条件であり、必要条件ではない」のかについて説明します。

問題の理解

まず、問題に出ている条件を整理しましょう。

ここで、| m | = 1とはmが±1であることを意味し、| n | = 1とはnも±1であることを意味します。また、rはmnが±1であることを意味しています。この条件に基づいて、rが「pまたはq」の場合について考えます。

十分条件とは、ある条件が満たされたときに他の条件が必ず成り立つ場合を指します。逆に、必要条件とは、他の条件が成り立つためにはその条件が必ず必要である場合を意味します。

この問題で言う「十分条件であるが、必要条件ではない」とは、rが満たされるためにpまたはqが十分な条件であるが、それだけではrが必ずしも成り立つとは限らないことを意味しています。

まずpが満たされる場合、mが±1であるため、nが何であれ、|mn|は必ず1になります。したがって、pが成り立つ場合、rも必ず成り立ちます。同様に、qが成り立つ場合、nが±1であれば、|mn|は1になります。このため、pまたはqが成り立つとrも成り立つことが確認できます。これが十分条件の理由です。

しかし、逆にrが成り立つ場合、mやnが±1であるとは限りません。例えば、mが1、nが1以外の値でも|mn|が1になる場合があります。このことから、rが成り立つためにはpやqが必ずしも必要ではないことがわかります。

この問題では、rが「pまたはq」であるための条件について説明しました。rが成り立つためにはpまたはqが十分であるが、逆にrが成り立ったからといって、pやqが必ずしも成り立つわけではないため、「十分条件であり、必要条件ではない」となります。

この問題の要点は、十分条件と必要条件の違いを理解することです。rがpまたはqによって成り立つのは十分条件ですが、rが成り立つだけではpまたはqが必ず成り立つわけではないため、必要条件ではないということになります。この考え方をしっかりと理解することで、数学的な論理をより深く理解できるようになります。