微分方程式 y''' - 3y' - 2y = cosh(x) の解法

この問題では、三階微分方程式「y”’ – 3y’ – 2y = cosh(x)」を解く方法を解説します。まず、微分方程式を解くための基本的なアプローチを紹介し、解法に進みます。

1. 微分方程式の確認と分解

与えられた微分方程式は次のようになります。

y''' - 3y' - 2y = cosh(x)

ここで、「y”’」はyの三階微分、「y’」はyの一階微分、「y」は元の関数です。cosh(x)はハイパボリック余弦関数です。

まず、この微分方程式は非同次線形微分方程式です。これを解くためには、まず同次方程式と非同次項を分けて考えます。

同次方程式は以下のようになります。

y''' - 3y' - 2y = 0

この同次方程式の解を求めるためには、まず特性方程式を立てます。

r^3 - 3r - 2 = 0

特性方程式を解くことで、rの値を求めます。解の公式を使うか因数分解を試みると、以下のように解けます。

r = 1, -2, 1

したがって、同次方程式の一般解は次のようになります。

y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^x

ここで、c_1, c_2, c_3は定数です。

次に、非同次項「cosh(x)」に対応する特解を求めます。cosh(x)は定義により、次のように表せます。

cosh(x) = (e^x + e^{-x}) / 2

特解の形としては、cosh(x)に似た形を仮定します。ここでは、次のように仮定します。

y_p(x) = A e^x + B e^{-x}

これを元の微分方程式に代入し、AとBを求めます。

最終的な解は、同次解と特解を合成することで得られます。

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^x + A e^x + B e^{-x}

これが微分方程式の解です。AとBの値は、元の方程式に代入して求めることができます。

この問題では、三階微分方程式「y”’ – 3y’ – 2y = cosh(x)」を解くために、同次解と特解を求め、最終的な解を得ました。特解を求めるためには、非同次項に対応する形を仮定し、必要な定数を求めることで解法が完成します。