複素数における|z²| = |z|²の変形について

複素数の問題でよく見かける式「|z²| = |z|²」が成り立つかどうかという質問ですが、実際にこの式はどんな場合でも成り立つというわけではありません。それでは、どのような条件でこの式が成り立つのかについて詳しく説明します。

複素数の絶対値とその性質

複素数 z = a + bi（a, b は実数）について、その絶対値は |z| = √(a² + b²) と定義されます。複素数の絶対値の重要な性質として、|z₁z₂| = |z₁| |z₂| が成り立つことがあります。この性質を使うことで、複素数の乗法と絶対値の関係を理解することができます。

実際に、|z²| を展開してみると、|z²| = |z × z| = |z| × |z| = |z|² となり、これは絶対値の性質に基づくものです。つまり、この式はすべての複素数に対して成り立ちます。

なぜ「|z²| = |z|²」が常に成り立つかというと、これは複素数の乗法において、絶対値が乗算されるためです。具体的には、z²という複素数の絶対値は、zの絶対値の2乗と等しいため、式が成立します。この性質は、複素数の積が与えられる際に非常に有用です。

複素数における「|z²| = |z|²」の関係式は、複素数の絶対値の性質に基づいており、どんな場合でも成り立ちます。この理解を深めることで、複素数の演算をより正確に扱うことができます。