微分方程式 x^2y'' - 2xy' + 2y = sin(1/x) の解法

この問題では、与えられた微分方程式を解く方法について解説します。微分方程式は以下のように与えられています。

問題の確認

与えられた微分方程式は次の通りです。

x^2y” – 2xy’ + 2y = sin(1/x)

この微分方程式は、変数分離型ではないため、定数変化法や適当な変数変換を利用する必要があります。まず、これを定数変化法を使って解くことができます。

1. 定数変化法を使用します。この方程式の左辺は、常微分方程式の標準形の一部です。まず、対応する同次方程式x^2y” – 2xy’ + 2y = 0を解きます。

2. 同次方程式の解を得た後、非同次項であるsin(1/x)を考慮して、非同次方程式の解を見つけます。

同次方程式x^2y” – 2xy’ + 2y = 0は、適当な補助関数を用いて解くことができます。補助方程式を解くと、一般解が得られます。

同次方程式の解と非同次項の解を組み合わせて、与えられた微分方程式の一般解を得ます。この解法の手順を追うことで、x^2y” – 2xy’ + 2y = sin(1/x) の解を求めることができます。

微分方程式x^2y” – 2xy’ + 2y = sin(1/x)を解くためには、定数変化法と適切な変数変換を使って解を求めます。まずは同次方程式を解き、その後非同次項を考慮して解を求めることが重要です。