直径の両端を使って円の方程式を求める方法

円の方程式を求める問題では、与えられた2点が直径の両端である場合、円の中心と半径を計算することが基本となります。この記事では、2点（2, 3）と（4, -5）を直径の両端とする円の方程式をどのように求めるかを解説します。

1. 円の中心の座標を求める

円の中心は直径の中点に位置しています。2点（2, 3）と（4, -5）の中点を計算することで、円の中心の座標が分かります。中点の公式は次の通りです。

中点 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

これに基づき、(2, 3)と(4, -5)の中点を計算すると。

中心の座標 = ((2 + 4) / 2, (3 + (-5)) / 2) = (3, -1)

円の半径は、中心から直径の端点までの距離です。ここでは、円の中心が(3, -1)であり、直径の一端が(2, 3)です。この2点間の距離を求めることで、円の半径を求めることができます。距離の公式は次の通りです。

距離 = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)

これに基づき、(3, -1)と(2, 3)の距離を計算すると。

半径 = √((3 – 2)² + (-1 – 3)²) = √(1 + 16) = √17

円の方程式は、次の標準形で表されます。

(x – h)² + (y – k)² = r²

ここで、(h, k)は円の中心の座標、rは半径です。中心の座標(3, -1)と半径√17を代入して、円の方程式を求めます。

(x – 3)² + (y + 1)² = 17

最終的な円の方程式は、(x – 3)² + (y + 1)² = 17 となります。これは、与えられた2点を直径とした円の方程式です。

このように、2点を直径の両端として与えられた場合、まず中点を求めて円の中心を求め、次に直径の一端と中心との距離を求めて半径を算出し、最終的に円の方程式を得ることができます。これが円の方程式を求める基本的な方法です。