公務員教養試験の問題で、数学の代数の簡単化に関する質問がありました。問題は次のような式の簡単化です。
(√2 + √3 – 1) / (√2 + √3 + 1)
解答として「(√6 – √2) / 2」となっていますが、そのプロセスについて理解が深まるように解説します。
式の簡単化のために使う技術
このような式では、分母の有理化を行うことで簡単化を進めます。分母に含まれるルートを取り除くためには、分母と分子に共通の因数を掛け合わせていきます。この手法は「有理化」と呼ばれ、特に代数の問題でよく使われる方法です。
この問題では、分母の (√2 + √3 + 1) と分子の (√2 + √3 – 1) に注目して、有理化を試みます。
有理化のステップ
まず、分母と分子の両方に (√2 + √3 + 1) の共役を掛けます。共役とは、符号が逆の式を掛けることを意味します。この場合、共役は (√2 + √3 – 1) です。
式は次のように変化します。
(√2 + √3 - 1) / (√2 + √3 + 1) × (√2 + √3 - 1) / (√2 + √3 - 1)
これにより、分母は次のように計算されます。
(√2 + √3)^2 - 1^2
この式を展開すると、分母は 2 + 3 + 2√6 – 1 となり、最終的に 5 + 2√6 になります。
分子の計算
次に、分子の計算を行います。分子は次のように計算されます。
(√2 + √3 - 1) × (√2 + √3 - 1)
この展開を行うと、分子は 6 – 2√2 – 2√3 + 2 となり、最終的に 6 – 2√2 – 2√3 + 2 になります。
この式をさらに整理すると、分子は (√6 – √2) / 2 の形になります。
最終的な式の形
分母と分子の計算を終えると、最終的に次のような式に簡単化されます。
(√6 - √2) / 2
これが解答と一致します。つまり、問題の式は「(√6 – √2) / 2」という形に簡単化されます。
まとめ
この問題を解くには、分母と分子に共役を掛けることで有理化を行い、式を簡単化しました。分母に現れた平方根を整理することで、最終的に (√6 – √2) / 2 という形になりました。このような有理化の手法は代数問題で頻繁に使用され、数学の基礎的なテクニックの一つです。
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