放物線の対称性と定点Aからの垂直線の関係の証明

この問題では、x軸上の定点A(a, 0)とy軸上の動点P(0, p)を考え、Pを通りAPに垂直な直線PQが一定の放物線に接することを証明することを目指します。特に、「放物線がx軸について対称である」という表現とその数学的な証明について解説します。

放物線の対称性について

放物線が「x軸について対称である」とは、放物線がx軸を中心に鏡像のように対称であるという意味です。具体的には、放物線の任意の点 (x, y) に対して、その点をx軸で反転させた (x, -y) という点も放物線上に存在するという特性を持ちます。これは、放物線の式がy² = kxの形に表される場合に顕著で、yの符号が反転しても同じxに対応するためです。

この対称性の理解は、放物線の形状がx軸を基準にして左右対称であることを示しており、これを証明するためには、放物線の方程式の中でxが固定されると、yの値が正負どちらでも対応する点が放物線上に存在することを示します。

放物線がx軸について対称であることの式での立証

放物線がx軸について対称であることを式で立証するには、放物線の方程式がy² = kxの形であることを確認するのが有効です。この方程式の特徴は、yが正の値でも負の値でも、同じxに対して対応する点が放物線上に存在する点です。

例えば、y = +√(kx)という点とy = -√(kx)という点は、x軸を挟んで対称的に存在します。この特性を利用して、yの符号が反転しても放物線上の点として有効であることを示すことができます。

放物線と定点Aから垂直な直線PQの関係

問題の本質は、定点A(a, 0)から垂直に引いた直線PQが、動点P(0, p)を通るときに、その直線PQが放物線に接するという事実を証明することにあります。Pがy軸上を動くとき、PQが常に同じ放物線に接する理由は、放物線がy軸に対して対称であり、放物線の接線がy軸の位置に依存するためです。

この関係を数学的に表現するために、Pの位置とPQの方程式を組み合わせ、直線が放物線に接する条件を満たすように設定します。具体的には、放物線と直線の交点が1点のみであることが接線の条件です。

まとめ：放物線の対称性と直線の関係

放物線がx軸について対称であることは、その方程式y² = kxから容易に確認できます。この対称性により、定点Aから引いた直線PQが常に同じ放物線に接することが理解できます。数学的には、放物線と直線の交点の数が1つであるという条件が満たされるとき、直線は放物線に接し、その際の接点はy軸上の動点Pに依存することになります。