三角形ABCの面積を求める問題：放物線と円の交点

この問題では、座標平面上で放物線y=x²と円が交わる点についての幾何学的な問題を扱っています。問題の構成は、円と放物線の交点、接線、そして三角形の面積の計算に関するものです。具体的には、円と放物線が交わる点Bを求め、そこから三角形ABCの面積を計算します。

問題の設定

与えられた情報は次の通りです。

まず、円②と円③が外接する条件を考えます。円②の半径は√6/2、円③の半径も同じく√6/2です。これらの円が外接するため、円の中心間の距離が二つの半径の和に等しくなる必要があります。

次に、円③が放物線y=x²上にある点Aを中心としているため、点Aの座標も放物線の方程式を満たします。この条件を使って、点Aの座標を求め、その後、点Aを中心にした円③の位置関係を明確にします。

点Bにおける円②の接線の方程式を求め、次にその接線とy軸の交点を点Cとして求めます。この接線の方程式は、接点Bの座標を使って導くことができます。

接線の傾きは、点Bにおける円②の半径と直交するため、円の中心Oと点Bの座標を用いて計算します。接線の方程式が求まったら、その接線とy軸との交点を計算して点Cの座標を得ます。

最後に、点A、点B、点Cの座標が得られたら、三角形ABCの面積を求めます。三角形の面積は、三点の座標を用いて行列式を利用して計算できます。

具体的には、次のような公式を使用して三角形の面積を求めます。

面積 = 1/2 * | x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) |

この問題では、幾何学的な考察を用いて、放物線と円の交点を求め、接線の方程式を計算し、その接線とy軸の交点を求めることで三角形ABCの面積を算出しました。問題を解くためには、座標幾何学の基礎的な知識と、幾何学的な図形の関係を理解することが重要です。