x² - mx - m + 8 = 0 の実数解における定数mの範囲の求め方

この記事では、方程式x² – mx – m + 8 = 0に対して、異なる2つの正の解、異なる2つの負の解、正の解と負の解の範囲を求める方法について詳しく解説します。特に、与えられた条件に基づいて、定数mの範囲を求める際の考え方をしっかり理解しましょう。

方程式の整理と判別式の導出

まず、与えられた方程式x² – mx – m + 8 = 0を解くためには、まずこの式を適切な形に整理します。式を整理すると、次のようになります。

x² – mx – m + 8 = 0 → x² – m(x + 1) + 8 = 0

この方程式が実数解を持つためには、判別式Dが0以上でなければなりません。判別式Dは次のように求めます。

D = b² – 4ac (a = 1, b = -m, c = -m + 8)

D = (-m)² – 4(1)(-m + 8) = m² + 4m – 32

次に、問題の条件に従って解の範囲を求めます。

異なる正の解を得るためには、判別式が正で、かつ解の値が全て正である必要があります。判別式Dが正であるためには、次の条件を満たす必要があります。

D = m² + 4m – 32 > 0

この不等式を解くと、m < -8 または m > 4 となります。したがって、mの範囲はm > 4 です。

異なる負の解を得るためには、判別式が正で、解が全て負でなければなりません。具体的には、mの範囲を調べることで、この条件を満たすmの範囲を求めることができます。

正の解と負の解が存在する場合、mの範囲を求める際には、同様に判別式を計算し、それが満たすべき条件を見つける必要があります。

方程式x² – mx – m + 8 = 0における定数mの範囲を求める方法は、判別式を利用して解の性質を調べることです。mの範囲に関する理解を深めることで、解の性質や範囲をしっかりと求めることができます。