重積分の問題では、領域の範囲が与えられたときに、その範囲で積分を行う方法を理解することが重要です。この問題では、領域D={(x,y)|0<=y<=2, 0<=x<=y^2}に対して、積分∮∮D√(1+y^3)dxdyを計算する方法について解説します。
1. 与えられた領域Dの確認
まず、与えられた領域D={(x,y)|0<=y<=2, 0<=x<=y^2}を確認しましょう。yの範囲は0から2まで、xの範囲は0からy^2までです。この情報を元に、積分の順番を決めることができます。
領域Dに対して積分を行うために、yを外側の積分、xを内側の積分として設定します。
2. 積分の式の設定
積分式は次のように設定できます。
∮∮D√(1+y^3)dxdy = ∫[0,2] ∫[0,y^2] √(1+y^3) dxdy
ここで、xに関する積分は単純な積分で、xの範囲が0からy^2までです。次に、この積分を解いていきます。
3. 内側の積分を行う
内側の積分はxに関する積分です。式は次のように書き換えられます。
∫[0,y^2] √(1+y^3) dx = √(1+y^3) * x |[0, y^2] = y^2 * √(1+y^3)
内側の積分を行うと、y^2 * √(1+y^3)という式が得られます。
4. 外側の積分を行う
次に、外側の積分を行います。
∫[0,2] y^2 * √(1+y^3) dy
この積分を計算するためには、y^2 * √(1+y^3)を解く必要があります。手計算では少し難しい部分もありますが、数値的に近似する方法や計算機を使って解くことができます。
5. まとめ
この問題では、重積分の計算を行うために領域の範囲を理解し、内積分と外積分を順番に行う必要があります。難しい部分は数値的な計算に頼ることもありますが、基本的な考え方としては、積分範囲を設定し、順番に積分していくことです。
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