ベクトルの和、差、外積、内積の物理的な意味と模式図の解説

ベクトルの和、差、外積、内積は物理学や工学で非常に重要な概念です。本記事では、与えられたベクトルA（ax, ay, az）とベクトルB（bx, by, bz）に関して、和と差のベクトルを模式図で表現し、外積と内積の物理的な意味を詳しく解説します。

ベクトルAとベクトルBの和と差の模式図

ベクトルの和と差は、ベクトル空間における操作です。和と差のベクトルを理解するために、まず平行四辺形模式図を使います。平行四辺形の対角線として、和と差のベクトルが表現されます。

具体的には、ベクトルAとBの和（A + B）は、ベクトルAの始点からベクトルBを平行に移動させて描かれるベクトルです。差（A – B）は、ベクトルBの逆方向にベクトルAを描いたものです。

ベクトルAが力Fを表し、ベクトルBが変位r(x, y, z)を表す場合、AとBの外積A × Bは、力Fと変位rによって生じる「トルク」や「モーメント」を表します。物理的に言うと、外積は二つのベクトルが作る平面に垂直なベクトルを返します。

外積の大きさは、ベクトルAとBが作る角度のサイン関数に比例し、力と変位の間に直角成分がどれだけあるかを示します。このため、外積は回転運動やトルクを理解する上で非常に重要です。

ベクトルAがカの倍の力Fを表し、ベクトルBが変位r(x, y, z)の変化△r（△x, △y, △z）を表す場合、AとBの内積A・Bは、力Fが変位rに沿ってどれだけ「働いているか」を示します。内積の物理的な意味は、力がどれだけ変位に沿って働くか、つまり「仕事」を表しています。

内積の大きさは、力と変位の間の角度が小さいほど大きくなり、力が変位の方向に向かって効率的に仕事をしていることを意味します。

ベクトルAとBの和、差、外積、内積は、それぞれ物理的な意味を持ち、異なる現象を説明します。和と差は、平行四辺形模式図を使って視覚的に理解でき、外積はトルクやモーメントを、内積は力がどれだけ効率的に仕事をするかを示します。

これらの概念は、特に力学や電磁気学、流体力学などで重要な役割を果たします。ベクトル演算を理解することは、物理学の学習において不可欠です。