確率問題：三角形の頂点を動く点PがBに一度も到達しない確率

今回の問題は、確率を用いた動的なシナリオを扱っています。三角形の頂点A、B、Cを結び、点Pが1秒ごとに一定の確率で移動する状況を考えます。最初、点PはAの位置にあり、Pが3秒以内に一度もBの位置に行かない確率を求める問題です。以下で解法を説明します。

1. 問題の状況を理解する

点Pは、A、B、Cの3つの頂点を動きます。Pは1秒ごとに1/6の確率で反時計回りに移動し、1/6の確率で時計回りに移動し、残りの2/3の確率でその場に留まります。目標は、最初の3秒の間にPが一度もBの位置に到達しない確率を求めることです。

まず、点PはAにいることが前提です。Pの動きの確率は次の通りです。

この状況で、PがBに到達しない確率を求めます。

点PがBに一度も到達しないためには、3秒間のうちにBに移動することなく、反時計回りや時計回りを繰り返すか、またはその場に留まる必要があります。PがBに到達する場合、反時計回りに移動することが条件となりますので、最初に反時計回りの移動をしない確率を求めます。

それぞれの秒において、PがBに到達する確率を避ける方法を考えると、PがBに到達しない確率は、以下のように計算できます。

したがって、PがBに到達しない確率は、(5/6) * (5/6) * (5/6) = 125/216となります。

最初の3秒間にPが一度もBに到達しない確率は約0.5787（125/216）です。したがって、この確率が求める答えとなります。

確率問題は、与えられた条件を整理し、順を追って確率を掛け合わせることが重要です。今回の問題では、反時計回り、時計回り、その場に留まる確率を計算し、Bに到達しない確率を求めました。確率を計算する際の基本的なアプローチを理解することで、他の似たような問題にも対応できるようになります。