理想気体の内部エネルギー変化と熱力学第一法則 – なぜdU = Cv dTが成立するのか？

理想気体の内部エネルギーの変化は、熱力学における重要な概念です。特に、内部エネルギーの全微分に関する式と、熱力学第一法則に基づく熱と仕事の項との関係について理解することが重要です。この記事では、なぜ内部エネルギーが仕事項由来の温度依存性を持たず、単純なCv dTで記述できるのかについて詳しく解説します。

熱力学第一法則と内部エネルギー

熱力学第一法則は、「エネルギー保存の法則」に基づき、システムの内部エネルギーの変化が、システムに加えられた熱と行った仕事に関係することを示します。具体的には、dU = dq + dwという式で表されます。ここで、dUは内部エネルギーの変化、dqは加えられた熱、dwはシステムが行った仕事を示します。

この法則に従うと、システムに加わった熱と行った仕事がシステムの内部エネルギーにどのように影響を与えるのかを理解することができます。しかし、この式の中で、仕事wが温度Tに依存することに疑問を抱く方もいます。

理想気体における内部エネルギーの変化

理想気体の内部エネルギーは、基本的に温度にのみ依存し、体積や圧力には依存しません。理想気体における内部エネルギーの変化は、dU = Cv dTという式で表されます。この式では、Cvが定積比熱、dTが温度の変化を示します。なぜこの式が成立するのかを理解するためには、気体の内部エネルギーがどのように定義され、温度に依存するかを確認する必要があります。

理想気体の場合、内部エネルギーは主に分子の運動エネルギーに関連しており、これが温度に比例します。したがって、内部エネルギーの変化は温度変化によってのみ決まり、体積変化を伴っても、内部エネルギーに温度以外の因子が影響を与えることはありません。

なぜdU = Cv dTが成立するのか？

熱力学第一法則における仕事項（w）が温度に依存しているにもかかわらず、最終的な内部エネルギーの変化がCv dTで記述できる理由は、仕事がエネルギー変換の一部であり、内部エネルギーそのものに直接的な影響を与えないためです。具体的には、体積変化を伴う場合でも、内部エネルギーの変化は温度に基づくエネルギーの変化にすぎないため、温度依存性がそのまま適用されます。

実際、理想気体の仕事wは、w = -PdV = -(nRT/V)dVとして表されます。この式は、体積変化を伴う過程での仕事を示しますが、この仕事項はあくまでエネルギーの移動を示しているだけで、内部エネルギーそのものの変化には含まれません。内部エネルギーの変化は、あくまで温度による変化に対応し、Cv dTで記述できるのです。

内部エネルギーと仕事の関係

理想気体の内部エネルギー変化が温度のみで表される理由は、理想気体の性質に基づいています。理想気体では、内部エネルギーは分子の運動エネルギーの総和であり、これが温度と直接的に関連しています。仕事項は、外部とシステムとのエネルギーのやり取りを示しており、内部エネルギー自体の変化には含まれないため、Cv dTで記述されるのです。

したがって、内部エネルギーの変化は温度にのみ依存し、体積や圧力の変化が直接的な影響を与えることはありません。このように、仕事や熱がシステムに与える影響は、内部エネルギーとは別のエネルギー変換の一部として扱われることになります。

まとめ

理想気体における内部エネルギーの変化がCv dTで記述できる理由は、内部エネルギーが温度のみに依存しているためです。仕事や熱はエネルギーの移動に関する項であり、内部エネルギーそのものの変化とは別のプロセスとして扱われます。熱力学第一法則における仕事項が温度に依存している一方で、内部エネルギーは温度変化のみで表現されるため、最終的にはCv dTという単純な式で記述されるのです。