袋からボールを取り出す確率の問題: 残りのボールから当たりを引く確率は変わるのか？

10個のボールが入った袋の中から、無作為にボールを取り出す確率の問題について考えてみましょう。特に、最初に5個取り出した後、残りの5個から1個を取り出すときの確率について疑問を持つ方も多いかもしれません。この記事では、なぜその確率が変わらないのかを解説します。

問題の設定

袋の中には10個のボールがあり、そのうち1つは当たりのボール、残りは外れのボールです。最初に5個のボールを無作為に取り出し、その後、残りの5個の中から無作為に1個を取り出します。この時の、当たりのボールを引く確率が最初と変わらない理由を理解することが重要です。

最初の確率

最初に袋から5個のボールを無作為に取り出す段階で、当たりのボールが含まれる確率は1/10です。つまり、最初に取り出す段階では、1個の当たりボールが10個の中のどれか1つに入っているので、当たりを引く確率は1/10ということになります。

残りの5個の中での確率

次に、残りの5個のボールから1個を取り出す際、その確率が1/10のままである理由を見てみましょう。最初に5個取り出す段階で、当たりボールが残りの5個の中に含まれている確率は1/2です。なぜなら、最初の5個のボールの中に当たりボールがある確率と、残りの5個の中に当たりボールがある確率は等しいからです。

したがって、残りの5個の中から当たりボールを引く確率は、最初の確率と同じ1/10に保たれます。最初に取り出したボールに当たりが含まれていたかどうかにかかわらず、残りのボールの中で当たりを引く確率は変わらないのです。

確率の変わらない理由

この問題において、確率が変わらない理由は、無作為に取り出すプロセスが確率的に独立しているからです。最初の5個のボールを取り出した時点で、残りの5個のボールから当たりボールを引く確率は、その時点での状況に関係なく1/10となるのです。これは、取り出したボールがどんなものであっても、残りのボールの中における当たりボールの確率が変わらないことを意味します。

まとめ

この問題の重要なポイントは、最初に取り出した5個のボールがどのようなものであっても、残りの5個のボールの中で当たりボールを引く確率は変わらないということです。確率は独立した事象であり、最初にどのボールを取り出しても、残りのボールから当たりを引く確率は1/10であるため、計算において確率は変わらないのです。