今回は、座標平面上で点A(-8, 1)から直線3x – y – 5 = 0に垂線を引き、その交点Hを求める問題を解説します。さらに、ベクトルの関係式「AHベクトル = kNベクトル」を利用して、実数kを求める方法を順を追って説明します。
1. 問題の理解
この問題では、まず点Aから直線に垂線を引き、その交点Hを求めることが目標です。その後、ベクトルAHとベクトルNがどのように関連するかを考えます。
2. 垂直な直線の方程式
直線3x – y – 5 = 0に対して垂直な直線を求めるためには、直線の傾きを求め、垂直方向の傾きを使って新たな直線の方程式を作成する必要があります。まず、3x – y – 5 = 0をy = 3x – 5の形に変形します。この直線の傾きは3です。
垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数を取って符号を反転させたものです。したがって、垂直な直線の傾きは-1/3です。この傾きを使って、点A(-8, 1)を通る垂直な直線の方程式を求めます。
3. 垂直な直線と直線の交点Hを求める
点A(-8, 1)を通り、傾き-1/3の直線の方程式は次のようになります。
y – 1 = (-1/3)(x + 8)
この直線と、元の直線3x – y – 5 = 0との交点を求めることで、交点Hの座標を得ることができます。
4. ベクトルの関係式を使ってkを求める
次に、問題で与えられたベクトルAHとベクトルNの関係「AHベクトル = kNベクトル」を使って、実数kを求めます。ベクトルNは(3, -1)で与えられています。この関係式を使って、AHベクトルの成分とベクトルNの成分からkを求めることができます。
ベクトルAHは、点Aから交点Hへのベクトルで、座標A(-8, 1)と座標H(x, y)を使って計算します。計算を進めると、kの値が求まります。
5. まとめ
この問題では、点Aから直線への垂線を引き、その交点Hを求め、さらにベクトルの関係式を使って実数kを求める方法を学びました。最初に直線の傾きを求めて垂直な直線の方程式を導き、その後交点を求める過程が重要です。最後に、ベクトルの関係を使ってkの値を求めました。
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