数学において、式の展開や因数分解は非常に重要なテーマです。特に多項式の展開は、代数の基本的なスキルとして広く使われます。今回は、式「x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)」が成立する理由について、詳細に解説します。
1. 式の展開を理解する
まず、式「(x + y)^3」の展開を行います。二項定理を使用すると、(x + y)^3は以下のように展開できます。
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
この展開式からわかるように、(x + y)^3はx^3とy^3に加え、交差項3x^2yと3xy^2を含んでいます。
2. 左辺と右辺の違いを見てみる
次に、式「x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)」を考えます。右辺の式を展開すると、次のようになります。
(x + y)^3 – 3xy(x + y) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) – 3xy(x + y)
右辺の「3xy(x + y)」は展開すると、
3xy(x + y) = 3x^2y + 3xy^2
これを右辺に代入すると。
(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) – (3x^2y + 3xy^2) = x^3 + y^3
上記のように、交差項「3x^2y」と「3xy^2」が打ち消され、残ったのは「x^3 + y^3」だけです。
3. 数式の整合性を確認する
このように、右辺を展開した後に交差項がキャンセルされるため、最終的に「x^3 + y^3」という式が残ります。よって、「x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)」という式は正しいことが証明されます。
この式は、単に「x^3 + y^3」を展開したり、代数の公式を適用したりすることで確認できます。
4. まとめ
この式「x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)」は、代数の基本的な展開を理解する上で非常に有用な例です。式の展開や項の相殺、キャンセルを通じて、数学的な理解を深めることができます。
また、似たような問題に取り組む際には、このように式を展開してから項を整理する方法が有効です。代数の基本的な操作に慣れるためにも、こうした問題に挑戦してみましょう。
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