部分分数分解の計算方法と注意点

部分分数分解は、複雑な分数式を簡単に扱える形に分解するための重要な手法です。特に、複雑な分母を持つ式では、この技術を使うことで計算が容易になります。しかし、計算を進める中で間違いが生じることもあります。この記事では、部分分数分解の具体例を通して、計算の注意点と正しい手順を解説します。

問題設定：部分分数分解の式

与えられた問題は、次のような形です。

1/((s+1)²(s²+4s+5)) = A/(s+1)² + B/(s+1) + (Cs+D)/(s²+4s+5)

この式の計算で、A=1/2、B=0、C=-1/2、D=-3/2という答えを得たが、正しい答えはA=1/2、B=-1/2、C=1/2、D=1であるという問題です。計算の過程で間違いが生じた場合、どこに問題があるのかを明確にすることが大切です。

部分分数分解を行うための基本的な手順は次の通りです。

これらの手順を踏んでいくことで、部分分数分解が正確に行われます。ここでは具体的にどう計算を進めるかを説明します。

与えられた式。

1/((s+1)²(s²+4s+5)) = A/(s+1)² + B/(s+1) + (Cs+D)/(s²+4s+5)

両辺を通分して、分子の係数を比較していきます。これを行うと、次のような式に変形されます。

1 = A(s²+4s+5) + B(s+1)(s²+4s+5) + (Cs+D)(s+1)²

この式を展開し、sの項ごとに整理していくと、各項の係数が求められます。ここで、計算の中で使う代入法や係数比較が非常に重要です。

計算の結果、定数A, B, C, Dの値は次のように求められます。

計算を進める中で、間違えやすいポイントは、分子の項を適切に展開しないことや、代入後の係数の計算を間違えることです。これにより、誤った値が得られることがあります。

部分分数分解は、数学の重要なテクニックであり、正しい手順で計算を進めることが大切です。計算の過程で間違えがちなのは、係数の比較や代入を行う際の計算ミスです。これを防ぐためには、細かい計算の確認を怠らず、一つ一つ丁寧に計算を行うことが求められます。

また、問題を解く際には常に問題文をよく読み、適切な方法で解くことを心がけましょう。計算ミスを減らし、正しい結果を導き出すためには、繰り返し練習することが最も効果的です。