x^2 + y^2 = 1 の曲線と一致する関数の求め方 – 高校2年生向け数学解説

このページでは、高校2年生向けに「x^2 + y^2 = 1 という式に一致する関数があるか？」という質問に対する解説を行います。まず、この式が意味するところや、それに一致する関数を求める方法について説明します。

1. x^2 + y^2 = 1 の意味

x^2 + y^2 = 1 は、円の方程式です。直径が1の円を描くための式として広く知られています。この式は、原点を中心とした半径1の円上に位置する点 (x, y) を表します。

具体的には、x と y の値がこの方程式を満たす点はすべて、原点から1の距離にある点です。従って、この方程式が描くのは、平面上の円となります。

2. 条件 -1/√2

次に、与えられた範囲「-1/√2 <= x <= 1/√2」を考えます。この範囲は、x が -1/√2 から 1/√2 の間の値を取ることを意味します。円の方程式 x^2 + y^2 = 1 の範囲内で、x がこの範囲に収まる点を求めます。

範囲内の点では、y の値は x の値によって決まります。y^2 = 1 – x^2 ですので、y = ±√(1 – x^2) となります。

3. この方程式に一致する関数

与えられた式「x^2 + y^2 = 1」に一致する関数を求めるためには、y を x の関数として表現する必要があります。上記のように、y = ±√(1 – x^2) という式になります。この式は、y を x の関数として表したものです。

したがって、この円を表す関数は、y = √(1 – x^2) または y = -√(1 – x^2) となります。これにより、x^2 + y^2 = 1 の曲線は、y = √(1 – x^2) の上半分または y = -√(1 – x^2) の下半分として表現されます。

4. まとめ

x^2 + y^2 = 1 の方程式に一致する関数は、y = √(1 – x^2) または y = -√(1 – x^2) です。与えられた範囲「-1/√2 <= x <= 1/√2」においては、この関数が有効です。このように、円の方程式を関数の形に変換することで、x と y の関係を明確にすることができます。