微積分と数学における二項定理の解法：x⁹の係数を求める方法

高校数学で学ぶ二項定理において、「(x² + x – 7)⁷」の展開式からx⁹の係数を求める問題が出てきます。この問題は、二項定理を用いて展開し、特定の項を求める方法を理解するための良い練習です。この記事では、x⁹の係数をどのように求めるか、そしてその解き方の流れについて解説します。

二項定理とは？

二項定理は、式 (a + b)^n を展開するための定理です。この定理を使うと、乗法の形に展開して、各項の係数を計算できます。二項定理の一般項は次のように表されます。

 T_k = (nCk) * a^(n-k) * b^k

ここで、(nCk) は二項係数、a と b は展開する項、n は指数、k は項の番号です。これを使って、展開したい式の各項を求めることができます。

問題は、「(x² + x – 7)⁷」の展開式からx⁹の係数を求めるというものです。まず、この式を一般項の形に展開し、x⁹の項を求めるためには、どのような場合にx⁹が現れるのかを考える必要があります。

「(x² + x – 7)⁷」の展開式では、各項における指数の和が重要です。具体的には、(x²)の項と(x)の項、そして定数項(-7)がそれぞれどのように組み合わさるかを計算することで、x⁹の項を求めることができます。

まず、展開式の一般項は次のようになります。

 (7!)/(p!q!r!) * (x²)^p * x^q * (-7)^r

ここで、p、q、rはそれぞれ、x²、x、定数-7の係数を決める指数です。また、p + q + r = 7 という制約があります。問題は、x⁹の項を求めるために、どのようにp、q、rの値を選ぶかということです。

x⁹が現れるためには、(2p + q = 9)となる必要があります。この式が成り立つ場合に、対応する係数を計算して足し合わせます。具体的には、(p, q, r) = (2, 5, 0)、(3, 3, 1)、(4, 1, 2) という組み合わせが解となります。

これらの組み合わせに基づき、x⁹の係数を求めます。計算は次の通りです。

 (7!)/(2!5!0!) * (-7)^0 + (7!)/(3!3!1!) * (-7)^1 + (7!)/(4!1!2!) * (-7)^2

この計算を行うと、次のような結果が得られます。

 21 - 280 - 420 = 161

したがって、「(x² + x – 7)⁷」の展開式におけるx⁹の係数は161です。

この問題では、二項定理を使って(x² + x – 7)⁷の展開式を求め、特定の項（x⁹）の係数を求めました。重要なのは、展開式の一般項を正しく理解し、x⁹が現れる条件を見つけ出すことです。解法を覚えておくと、似たような問題にも応用できます。