今回は、数学の二次関数に関する問題で、関数 f(x) = x^2 – 2x + 2 の最小値を求める問題について解説します。特に、条件 a <= x <= a + 2 における最小値を求めるために、どのように条件を整理し、場合分けを行うのかについて詳しく説明します。
二次関数の最小値を求める基本的な手順
まず、二次関数 f(x) = x^2 – 2x + 2 の最小値を求めるためには、関数が最小値を取る x の値を求める必要があります。二次関数の最小値は、グラフの頂点で求めることができ、頂点の x 座標は、一般的に x = -b/2a の式で求められます。
二次関数の頂点の求め方
与えられた関数 f(x) = x^2 – 2x + 2 の場合、a = 1、b = -2 ですので、頂点の x 座標は以下のように計算できます。
x = -(-2) / (2 × 1) = 1
したがって、x = 1 のところが頂点になります。この時、f(x) の最小値は f(1) で求められます。
条件 a
問題では、a <= x <= a + 2 という条件が与えられています。この条件において、どのように場合分けを行い、最小値を求めるのでしょうか。
1の取り扱いと場合分けの理由
解説で「a <= 1 <= a + 2」と書かれていますが、これは x = 1 が a <= x <= a + 2 の範囲に含まれるため、a の値に関係なく 1 がこの範囲に収まることを意味しています。つまり、a <= 1 <= a + 2 の式は、a の範囲が -1 から 1 の間である場合に成り立ちます。
具体的には、a <= 1 <= a + 2 の範囲が成立するためには、a の範囲が -1 <= a <= 1 である必要があります。このため、「すなわち -1 <= a <= 1」という結論になります。
最小値を求めるための解法
最小値を求めるために、x = 1 で最小値が取れることがわかりました。しかし、a の値が -1 から 1 の範囲にあるときに、この最小値が適用されるため、実際にはこの範囲を考慮して計算を行う必要があります。
最小値の結果
x = 1 の時、f(x) = 1^2 – 2(1) + 2 = 1 となり、この時の最小値は 1 です。
まとめ：最小値を求める方法と条件の解釈
この問題では、二次関数の最小値を求めるために、頂点の位置を基にして条件を整理しました。特に、範囲 a <= x <= a + 2 の場合分けについては、a の値が -1 <= a <= 1 の範囲にあることが重要なポイントです。この範囲で、x = 1 で最小値 1 を取ることが確認できました。
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