回転楕円体とは、楕円を回転させることで得られる立体です。これを任意の平面で切った断面が楕円または円になる理由を、数学的に示す方法について説明します。高校の数学範囲における理解を前提に解説します。
1. 回転楕円体の定義と方程式
回転楕円体は、楕円を軸を中心に回転させることで得られる立体です。楕円の方程式は次のように表されます。
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
ここで、aは長半径、bは短半径です。これをz軸まわりに回転させると、回転楕円体の方程式は次のようになります。
(x² / a²) + (y² / b²) + (z² / c²) = 1
ここで、cは高さ方向（z軸方向）の半径です。回転楕円体は、x, y, zの座標軸によって定義された立体です。
2. 任意の平面での切断
次に、回転楕円体を任意の平面で切った場合を考えます。平面は通常、z軸に平行でない任意の角度で設定されることが多いですが、平面の方程式は次のように一般的に表せます。
Ax + By + Cz = D
この平面が回転楕円体を切るとき、得られる断面は必ず楕円になります。もし平面がz軸に直交する（つまり、z軸方向に垂直に切る）場合、得られる断面は円になります。
3. 断面が楕円または円になる理由
回転楕円体の断面が楕円または円になる理由は、楕円体の対称性によるものです。任意の平面での断面では、回転軸の周りでの「円」または「楕円」の形が維持されるためです。特に、z軸方向に直交する平面で切る場合、楕円の軸が同じ長さになり、円が形成されます。
4. 具体例と計算
例えば、回転楕円体の方程式が (x² / 4) + (y² / 9) + (z² / 16) = 1 の場合を考えます。ここで、a = 2, b = 3, c = 4 としましょう。この回転楕円体をz = 0で切ると、断面は次のような式で表されます。
(x² / 4) + (y² / 9) = 1
この断面は明らかに楕円です。同様に、z軸に垂直な平面で切った場合は、円が得られます。
まとめ
回転楕円体の断面が常に楕円または円になる理由は、回転体の対称性と、その断面が平面によって決まる形状に基づいています。z軸方向に垂直な平面で切ると円、その他の角度の平面で切ると楕円が得られることが確認できました。これらの解説を通じて、回転楕円体の幾何学的性質を理解することができます。
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