積分の基本: ∫xsin(x)dx の解法とその詳細なステップ

積分は数学の中でも非常に重要なトピックであり、特に定積分や不定積分は様々な分野で活用されています。ここでは、特に「∫xsin(x)dx」の積分について、詳細な解法ステップとその背後にある理論を説明します。

1. 基本的な積分の復習

まず最初に、簡単な積分を復習しておきましょう。例えば、「∫sin(x)dx」の積分は基本的に「-cos(x) + C」であり、この積分は三角関数の基本的な積分ルールに従います。このような基本的な積分法則を理解していると、より複雑な積分問題も解けるようになります。

次に、質問にあった「∫xsin(x)dx」を解くために、積分の一つのテクニックである「部分積分」を使用します。部分積分の公式は次のようになります。

∫u dv = uv – ∫v du

この公式を使うことで、複雑な積分を簡単に計算できます。今回は、「u = x」と「dv = sin(x)dx」と設定します。

実際に「∫xsin(x)dx」を解くための手順を説明します。まず、u = x と dv = sin(x)dx と置きます。

次に、du = dx であり、v = -cos(x) となります。

これらを部分積分の公式に代入すると。

∫xsin(x)dx = -xcos(x) + ∫cos(x)dx

そして、残りの積分「∫cos(x)dx」は簡単に解けるので、結果は。

-xcos(x) + sin(x) + C

したがって、「∫xsin(x)dx」の解答は「-xcos(x) + sin(x) + C」になります。このように、部分積分を使用することで、複雑な積分問題も簡単に解くことができるのです。

積分は慣れが大切なので、様々なタイプの問題を解きながら積分のスキルを磨いていきましょう。