「1の2乗、3の2乗、5の2乗、7の2乗…」という数列の初項から第n項までの和を求める問題について解説します。この問題を解くためには、数列の規則性を理解し、適切な公式を使うことが必要です。この記事では、数列の構造を説明し、その和を求める方法をわかりやすく紹介します。
数列の規則性を理解する
問題文に示された数列は、1², 3², 5², 7², …という形で、各項が奇数の2乗となっています。この数列の規則性は、奇数の平方が並んでいることです。
一般的に、この数列のn番目の項は「(2n – 1)²」と表すことができます。例えば、n = 1 のとき、(2×1 – 1)² = 1²、n = 2 のとき、(2×2 – 1)² = 3²、n = 3 のとき、(2×3 – 1)² = 5² となります。
和を求めるための式
この数列の初項から第n項までの和を求めるためには、各項を足し合わせる必要があります。したがって、和を求める式は次のように表されます。
S_n = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)²
この和を求めるためには、まず数列の項を明確に理解したうえで、個々の項を順番に計算していく必要があります。
具体的な計算方法
例えば、この数列の初項から第3項までの和を求める場合、次のように計算します。
S_3 = 1² + 3² + 5² = 1 + 9 + 25 = 35
このようにして、各項を計算して足し合わせることで、初項から第n項までの和を求めることができます。
一般的な和の公式
この数列の和を効率よく求めるためには、数列の和に関する公式を使うこともできます。例えば、n項までの奇数の平方の和に関する公式を知っておくと、計算がさらに簡単になります。
この数列に対する和の公式は次のようになります。
S_n = n(2n – 1)
この公式を使うと、例えばn = 3の場合。
S_3 = 3(2×3 – 1) = 3 × 5 = 15
まとめ
「1の2乗、3の2乗、5の2乗、7の2乗…」という数列の和を求める方法は、数列の規則性を理解し、適切な公式を使うことが重要です。
各項を求めて順番に足し合わせる方法や、公式を使う方法のどちらでも、数列の和を求めることができます。計算方法を覚えておくと、同様の問題にもスムーズに対応できるようになります。
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