多項式展開の問題で、特定の項の係数を求める方法は非常に重要です。特に、(X^3 – X)^5 のような高次の多項式の場合、どの項に注目して係数を求めるかが問題となります。本記事では、(X^3 – X)^5 の X^9 の項の係数を求める方法を、手順を追って解説します。
多項式の展開について
まず、(X^3 – X)^5 のような式を展開するには、二項定理を利用するのが一般的です。二項定理は、(a + b)^n の展開に使用され、各項の係数を簡単に求めることができます。具体的に言うと、(X^3 – X)^5 の展開では、(X^3) と (-X) のべき乗を使って各項を求めます。
二項定理の適用
二項定理を適用するには、(X^3 – X)^5 を次のように展開します。
(X^3 – X)^5 = Σ (5Ck) (X^3)^(5-k) (-X)^k
ここで、Σ は総和を意味し、5Ck は二項係数を表します。この展開では、各項のXのべき乗が異なるため、X^9 の項を見つけるには、各項が X^9 になるようなkを見つける必要があります。
X^9 の項を求める
次に、X^9 の項がどのように出てくるかを見てみましょう。展開後の各項は、(X^3) のべき乗と (-X) のべき乗の積で成り立っています。すなわち、(X^3)^(5-k) と (-X)^k の積であり、Xのべき乗は次のように計算されます。
(X^3)^(5-k) = X^(3(5-k))
(-X)^k = (-1)^k X^k
したがって、(X^3)^(5-k) (-X)^k の X のべき乗は、3(5-k) + k になります。これが X^9 になるような k を求める必要があります。
具体的な計算
3(5-k) + k = 9 を満たす k を求めると、次のように計算できます。
3(5-k) + k = 9
15 – 3k + k = 9
15 – 2k = 9
2k = 6
k = 3
したがって、k = 3 のときに X^9 の項が現れます。
係数の計算
k = 3 のとき、二項定理により、その項の係数は次のように計算されます。
係数 = 5C3 × (X^3)^(5-3) × (-X)^3 = 5C3 × (X^3)^2 × (-X)^3
まず、5C3 は二項係数であり、次のように計算されます。
5C3 = 5! / (3!(5-3)!) = 10
次に、(X^3)^2 = X^6 と (-X)^3 = -X^3 なので、係数は。
係数 = 10 × X^6 × (-X^3) = -10 X^9
まとめ
(X^3 – X)^5 の X^9 の項の係数は -10 です。まず二項定理を用いて展開し、X^9 の項を見つけるために適切な指数を計算し、その後係数を求めました。この方法を使えば、高次の多項式展開における任意の項の係数を求めることができます。
コメント